Kochen 6.2.2018 mit Fernsehkoch Selzer-McKenzie Youtube: https://youtu.be/AQJlHr-Ypz0 Auberginen-Feta-Spießchen mit vinze Über Holzkohlenglut gegrillte Auberginen sehen sehr verführerisch aus, aber man kann sie natürlich auch im Backofen grillen. Vorbereitet werden die Spießchen bis zu 4 Stunden vorher. Zutaten Ergibt 20 Stück 1 lange, schlanke Aubergine, längs in 10 sehr dünne Scheiben geschnitten Olivenöl 100 g Feta (Schafkäse), in etwa 20 Würfel mit 1 cm Kantenlänge geschnitten 20 große, frische Minzeblätter Frisch gemahlener schwarzer Pfeffer Granatapfelsirup (siehe Seite 71) oder Balsamessig zum Beträufeln Zubereitung ♦ Eine Grillpfanne mit Rillen 5 Minuten stark erhitzen. Die Auberginenscheiben mit Olivenöl bestreichen und von beiden Seiten grillen, bis sie durchscheinen und dunkle Streifen haben. Abkühlen lassen und jeweils in 2 lange Streifen schneiden. Je ein Minzeblatt auf einen Auberginenstreifen legen. einen Fetawür-fel darauf setzen und fest einwickeln. Mit einem Cocktailspießchen fixieren und auf eine große Servier¬platte setzen. Nach Geschmack mit schwarzem Pfeffer würzen und mit etwas Granatapfelsirup oder ein paar Spritzern Balsamessig beträufeln. ………..2 Teriyaki-vanceln vegan Geröstete glasierte Mandeln sind eine unwiderstehliche Knabberei und der ideale Bar-Snack: salzig, süß und knusprig. Man braucht sich aber nicht auf Mandeln zu beschränken, denn Pekan-, Cashew- und Paranüsse schmecken eben¬so gut. Allerdings brauchen sie unterschiedlich lange Zeiten im Ofen. 300 g ganze Mandeln, blanchiert und enthäutet 3 EL Olivenöl 2 EL dunkle Sojasauce 2 EL Mirin (süßer japanischer Reiswein zum Kochen) oder süßer Sherry 1/4 TL Cayennepfeffer 1 EL Sesamsamen 1 EL extrafeiner Zucker Zubereitung • Den Backofen auf 200 °C (Umluft 180 °C) vorheizen, Die Mandeln auf einem Backblech verteilen und im vorgeheizten Ofen in 5 Minuten hellgolden rösten, Anschließend die Ofentemperatur auf 150 °C (Umluft 130 °C) reduzieren. ¨ Die übrigen Zutaten in einer Schale verrühren. Die gerösteten Mandeln untermischen, bis sie gleich¬mäßig überzogen sind, Erneut auf dem Backblech verteilen und für weitere 20-25 Minuten in den Ofen schieben, dabei alle 5 Minuten durchmischen. Die Flüssigkeit kocht im Ofen ein, die Mandeln bekommen eine dicke, dunkle, klebrige Glasurschicht. ¨ Die Mandeln auf dem Backblech abkühlen lassen. Mit einem Metallspatel zusammen mit der Glasur vom Blech kratzen, größere Brocken durchbrechen. In einer Schale anrichten, dazu Servietten reichen. ………..3 Avocaco-Tomaten-Crostini vegan Am besten eignen sich die neuen, nur halb getrockneten Tomaten, denn sie sind schön weich, saftig und leuchtend rot. Das pikante Avocadopüree sollte höchstens 4 Stunden vor dem Servieren zubereitet werden, Zutaten Ergibt 20 Stück Olivenöl zu Bestreichen 20 Scheiben (1 cm dick) von dünnem Baguette oder Ciabatta 1 große oder 2 kleine, vollreife Avocados, geschält und entsteint Frisch gepresster Saft von 1 Limette 1 Knoblauchzehe, zerdrückt 1 TL gemahlener Kreuzkümmel 1/2 TL scharfes Chilipulver (oder nach Geschmack) Salz Frisch gemahlener schwarzer Pfeffer 20 halb getrocknete Tomaten in Öl, abgegossen (ersatzweise sonnengetrocknete Tomaten) Frischer Schnittlauch, in 2 cm lange Röllchen geschnitten Zubereitung • Den Backofen auf 180 °C (Umluft 160 °C) vorheizen. Ein Backblech mit Olivenöl bestreichen, die Brotscheiben darauf verteilen und leicht mit Olivenöl beträufeln, m vorgeheizten Ofen in etwa 10 Minuten hellgolden und knusprig rösten. Abkühlen lassen und bis zur Verwendung in einem luftdicht verschlosse¬nen Behälter aufbewahren. Die Avocado(s) für das Püree in einer Schüssel fein zerstampfen, den Limettensaft, Knoblauch, Kreuz¬kümmel, Chilipulver, Salz und Pfeffer untermischen. Mit Klarsichtfolie abdecken und bis zur Verwendung in den Kühlschrank stellen. · Auf jeder gerösteten Brotscheibe einen kleinen Löffel Avocadopüree nicht allzu glatt verstreichen. da es so hübscher aussieht. Ein Tomatenstück darauf setzen und mit einem Schnittlauchröllchen garnieren. ……………4 Artischocken-Torteletts Von diesen herrlich knusprigen, warmen Brot-Torteletts mit Artischocken und Käse kann man einfach nicht genug bekommen. Und da die Zubereitung so einfach ist, sollte man ruhig eine größere Menge machen. Besonders leicht gelingen sie mit ganz normalem Weißbrot. Zutaten Ergibt 24 Stück 12 mitteldicke Scheiben Weißbrot Weiche Butter zum Bestreichen 400 g Artischockenherzen aus dem Glas, abgegossen und gehackt 50 g frisch geriebener Parmesan 2 frische, fleischige, milde grüne Chilischoten, von Stielansatz, Samen und Scheidewänden befreit und fein gehackt 3 gehäufte EL Mayonnaise 1 Prise Salz Frisch gemahlener schwarzer Pfeffer Zubereitung ♦ Den Backofen auf 220 °C (Umluft 200 °C) vorheizen. Mit einem umgedrehten Glas oder einer runden Ausstechform (Durchmesser 6 cm) aus den Brotscheiben je 2 Kreise ausstechen. Diese von einer Seite großzügig mit Butter bestreichen. Mit der bestrichenen Seite nach unten in eine beschichtete Muffinform setzen und mit den Fingern in die Aushöhlungen drücken. + Die übrigen Zutaten vermischen. Je 1 Esslöffel in die Brotböden füllen und glatt streichen. Im vorgeheiz¬ten Ofen 12-15 Minuten backen, bis die Torteletts goldbraun und knusprig sind. Kurz abkühlen lassen, aus der Form nehmen und warm servieren. ……………5 Tortellinispieße mit Kräuteröl Wer für viele Gäste kocht, verlässt sich gern einmal auf fertig vorbereitete Zutaten, wie etwa bei diesen Spießen. Die Arbeitszeit, die man für selbst gemachte Tortellini benötigt, kann man sicher an anderer Stelle brauchen. In gut sor-tierten Supermärkten bekommt man hervorragende frische Pasta, und noch besser sind, wenn auch teurer, frische Tortellini aus dem italienischen Feinkostgeschäft. Die Spieße eignen sich ideal für ein Fingerfood-Buffet, sie sehen verführerisch aus, sind gehaltvoll und leicht zu essen. Zutaten Ergibt 24 Stück 48 Tortellini mit Käsefüllung 300 g Büffel-Mozzarella, in grobe Stücke zerpflückt 24 beste entsteinte Oliven 12 sonnengetrocknete Tomaten in Öl, jede in 2 Streifen geschnitten Für das Kräuteröl: Etwa 20 frische Basilikumblätter Etwa 20 frische glatte Petersilienblätter 80 ml natives Olivenöl extra Zubereitung ♦ Mit einem sauberen Tuch 24 Bambusspieße abreiben, um kleine Holzsplitter zu entfernen. Die Tortellini in reichlich kochendem gesalzenem Wasser bissfest garen. Abgießen, unter fließendem kaltem Wasser abspülen und auf einem sauberen Küchen¬tuch zum Trocknen ausbreiten. ¨ Ein Stück Mozzarella und eine Olive mit einem Tomatenstreifen dann das Mozzarella-Oliven-Päckchen auf einen Bambusspieß stecken und mit einem weiteren Tortellino abschließen. (Man kann die Zutaten natürlich auch in anderer Reihenfolge auf den Spieß stecken, der Geschmack bleibt der gleiche.) Die fertigen Spieße neben- und behutsam übereinander in eine Schale legen, mit Klarsichtfolie abdecken und im Kühlschrank kalt stellen. Vor dem Servieren rechtzeitig heraus¬nehmen und Raumtemperatur annehmen lassen. ¨ Für das Kräuteröl die Kräuter mit dem Öl im Mixer gründlich verrühren. Die Spieße auf einer Servierplatte anrichten und kurz vor dem Servieren mit dem Kräuteröl beträufeln.. Vorbereiten Die Spieße lassen sich bis zu 4 Stunden im Voraus herstellen. Tipp! Mehr Tortellini kaufen als benötigt werden, da einige beim Garen auseinander fallen können. Sie müssen unbedingt noch Biss haben und dürfen nicht zu lange gegart werden. Wer keine Büffel-Mozzarella bekommt, kann auch solche aus Kuhmilch verwenden, am besten Fontina oder Havarti. Servieren Die Spieße passen am besten zu einem mediterranen Buffet …………..6 Rohkostplatte »de luxe« mit Sesam-Dip Dieser Sesam-Dip ist der einzige Dip, den ich je zubereite. Stets werde ich nach dem Rezept gefragt, und dann sind alle überrascht, dass etwas so Einfaches so wunderbar schmecken kann. Auch jemand, der kein rohes Gemüse mag, wird begeistert sein. Am besten schmeckt der Dip frisch zubereitet, da die Sesamsamen schnell weich werden. Zutaten Für 8-10 Personen Für den Sesam-Dip: 50 g Sesamsamen 125 g griechischer oder ein anderer dicker, cremiger Joghurt 125 g Mayonnaise 3 EL dunkle Sojasauce Für die Rohkostplatte (4-5 Gemüsesorten reichen aus): Neue Minikartoffeln, gekocht Grüne Spargelspitzen, blanchiert Chicoreeblätter Radieschen, ein kurzes Stück der Blattstängel belassen Rohe Zuckerschoten Einige Stangen Bleichsellerie aus der Mitte der Staude, mit ein paar Blättern daran Babymöhren, geputzt Mundgerechte Brokkoliröschen Mundgerechte Blumenkohlröschen 1 kleine Fenchelknolle, in Scheiben geschnitten Zubereitung ♦ Für den Dip eine Pfanne ohne Fett bei mittlerer Temperatur erhitzen. Die Sesamsamen einstreuen und unter Rühren rösten, bis sie zu springen beginnen und leicht gebräunt sind. In einer Schale vollständig auskühlen lassen. Sesamsamen, Joghurt, Mayonnaise und Sojasauce gut vermischen und in eine kleine Schüssel füllen. Eine Auswahl an Gemüserohkost auf einer Platte anrichten und mit dem Sesam-Dip servieren. Scharfes Fenchelsalz vegan — Das Fenchelsalz ist eine gute Ergänzung zu dem cremigen Dip und passt besonders ideal zu Cocktailtomaten und knackigen Gurken. Zutaten 1 EL grobes Meersalz; 8 schwarze Pfefferkörner; 1 TL Fenchelsamen; 1 TL Koriandersamen; 1 kleine getrocknete Chilischote oder 1/2 TL Chilipulver Zubereitung s Sämtliche Zutaten in einer Gewürzmühle oder im Mörser zu einem groben Pulver verarbeiten. In ein kleines Schälchen füllen und servieren. ………..7 Gegrillte Gemüse-Antipasti mit mariniertem Mozzare la Diese reichhaltige Platte mit saftigem Gemüse und mariniertem frischem Mozzarella ist absolut verführerisch. Man kann gar nicht zu viel davon zubereiten, es wird bestimmt alles gegessen. Wichtig ist eine gusseiserne Grillpfanne mit Rillen, am besten eine große, die über zwei Herdplatten reicht. Beim Grillen wird es in der Küche leider ziemlich rau¬chig (Fenster öffnen), aber genau dieser Rauch verleiht dem Gemüse den besonderen Geschmack. Jeglisches Gemüse eignet sich für diese Zubereitung, Wurzelgemüse muss jedoch zuvor blanchiert werden. Zutaten Für 8-10 Personen 400 g grüne Bohnen, geputzt 4 große oder 8 kleine Chicoreesprosse, längs halbiert 4 Fenchelknollen, geputzt und in dicke Scheiben geschnitten 2 Brokkoliköpfe, in lange Stücke geschnitten, Stiele geschält Natives Olivenöl extra Salz und frisch gemahlener schwarzer Pfeffer Frisch gepresster Saft von 1-2 Zitronen 500 g Büffel-Mozzarella, in dicke Stücke zerpflückt 2 Knoblauchzehen 1 TL grobes Meersalz 1 Hand voll frisch gehackte glatte Petersilie 4 EL Olivenöl 1 Bund frisches Basilikum, die Blätter zerpflückt Zubereitung ♦ Eine gusseiserne Grillpfanne mit Rillen 10 Minuten stark erhitzen. In der Zwischenzeit das Gemüse vorbereiten. Jede Gemüsesorte separat in eine Schüssel legen und leicht mit Olivenöl beträufeln, mit den Händen wenden, bis es gleichmäßig mit dem Öl überzogen ist. Nacheinander in der Pfanne weich grillen und dabei Farbe und das Grillmuster annehmen lassen ¨ Die fertigen Gemüsesorten wieder in die Schüsseln füllen und mit Salz und Pfeffer würzen. Bohnen, Chicoree und Fenchel noch heiß mit Zitronensaft beträufeln, jedoch nicht den Brokkoli, da er sich verfärben könnte. Das Gemüse abkühlen lassen und in Plastikdosen bis zur Verwendung in den Kühlschrank stellen. ¨ Die zerpflückte Mozzarella in eine große Schüssel legen. Für die Marinade den Knoblauch mit dem Salz im Mörser zerreiben, die Petersilie grob darunter arbeiten. Olivenöl und Basilikum unterschlagen. Die Marinade vorsichtig unter die Mozzarella rühren. Für mindestens 1 Stunde im Kühlschrank kalt stellen. Das gegrillte Gemüse mit der Mozzarella auf einer Platte anrichten und sofort servieren. Vorbereiten Diese Antipasti-Platte kann man bis zu 1 Tag im Voraus zubereiten. Dafür das Gemüse in separaten Plastikdosen kalt stellen. Tipp! Büffel-Mozzarella ist eine echte Delikatesse und passt ideal zum gegrillten Gemüse. Bekommt man sie nicht, eignet sich auch Mozzarella aus Kuhmilch. Frischer Mozzarella verdirbt jedoch schnell. Er muss kalt stehen, bis man ihn mit der Marinade vermischt. Servieren Dazu passen Blattsalate und reichlich Bauernbrot.

Kochen 6.2.2018 mit Fernsehkoch Selzer-McKenzie

Youtube: https://youtu.be/AQJlHr-Ypz0

Auberginen-Feta-Spießchen mit vinze

Über Holzkohlenglut gegrillte Auberginen sehen sehr verführerisch aus, aber man kann sie natürlich auch im Backofen grillen. Vorbereitet werden die Spießchen bis zu 4 Stunden vorher.

Zutaten        Ergibt 20 Stück

1 lange, schlanke Aubergine, längs in 10 sehr dünne Scheiben geschnitten

Olivenöl

100 g Feta (Schafkäse), in etwa 20 Würfel mit 1 cm Kantenlänge geschnitten

20 große, frische Minzeblätter

Frisch gemahlener schwarzer Pfeffer

Granatapfelsirup (siehe Seite 71) oder Balsamessig zum Beträufeln

Zubereitung ♦ Eine Grillpfanne mit Rillen 5 Minuten stark erhitzen. Die Auberginenscheiben mit Olivenöl bestreichen

und von beiden Seiten grillen, bis sie durchscheinen und dunkle Streifen haben. Abkühlen lassen und jeweils in 2 lange Streifen schneiden. Je ein Minzeblatt auf einen Auberginenstreifen legen. einen Fetawür-fel darauf setzen und fest einwickeln. Mit einem Cocktailspießchen fixieren und auf eine große Servier¬platte setzen. Nach Geschmack mit schwarzem Pfeffer würzen und mit etwas Granatapfelsirup oder ein paar Spritzern Balsamessig beträufeln.

………..2

Teriyaki-vanceln vegan

Geröstete glasierte Mandeln sind eine unwiderstehliche Knabberei und der ideale Bar-Snack: salzig, süß und knusprig. Man braucht sich aber nicht auf Mandeln zu beschränken, denn Pekan-, Cashew- und Paranüsse schmecken eben¬so gut. Allerdings brauchen sie unterschiedlich lange Zeiten im Ofen.

300 g ganze Mandeln, blanchiert und enthäutet

3 EL Olivenöl

2 EL dunkle Sojasauce

2 EL Mirin (süßer japanischer Reiswein zum Kochen) oder süßer Sherry

1/4 TL Cayennepfeffer

1 EL Sesamsamen

1 EL extrafeiner Zucker

Zubereitung • Den Backofen auf 200 °C (Umluft 180 °C) vorheizen, Die Mandeln auf einem Backblech verteilen

und im vorgeheizten Ofen in 5 Minuten hellgolden rösten, Anschließend die Ofentemperatur auf 150 °C (Umluft 130 °C) reduzieren.

¨          Die übrigen Zutaten in einer Schale verrühren. Die gerösteten Mandeln untermischen, bis sie gleich¬mäßig überzogen sind, Erneut auf dem Backblech verteilen und für weitere 20-25 Minuten in den Ofen schieben, dabei alle 5 Minuten durchmischen. Die Flüssigkeit kocht im Ofen ein, die Mandeln bekommen eine dicke, dunkle, klebrige Glasurschicht.

¨          Die Mandeln auf dem Backblech abkühlen lassen. Mit einem Metallspatel zusammen mit der Glasur vom Blech kratzen, größere Brocken durchbrechen. In einer Schale anrichten, dazu Servietten reichen. 

………..3

Avocaco-Tomaten-Crostini vegan

Am besten eignen sich die neuen, nur halb getrockneten Tomaten, denn sie sind schön weich, saftig und leuchtend rot. Das pikante Avocadopüree sollte höchstens 4 Stunden vor dem Servieren zubereitet werden,

Zutaten        Ergibt 20 Stück

Olivenöl zu Bestreichen

20 Scheiben (1 cm dick) von dünnem Baguette oder

Ciabatta

1 große oder 2 kleine, vollreife Avocados, geschält

und entsteint

Frisch gepresster Saft von 1 Limette

1 Knoblauchzehe, zerdrückt     1 TL gemahlener Kreuzkümmel

1/2 TL scharfes Chilipulver (oder nach Geschmack) Salz

Frisch gemahlener schwarzer Pfeffer

20 halb getrocknete Tomaten in Öl, abgegossen

(ersatzweise sonnengetrocknete Tomaten) Frischer Schnittlauch, in 2 cm lange Röllchen

geschnitten

Zubereitung • Den Backofen auf 180 °C (Umluft 160 °C) vorheizen. Ein Backblech mit Olivenöl bestreichen, die

Brotscheiben darauf verteilen und leicht mit Olivenöl beträufeln, m vorgeheizten Ofen in etwa 10 Minuten hellgolden und knusprig rösten. Abkühlen lassen und bis zur Verwendung in einem luftdicht verschlosse¬nen Behälter aufbewahren.

Die Avocado(s) für das Püree in einer Schüssel fein zerstampfen, den Limettensaft, Knoblauch, Kreuz¬kümmel, Chilipulver, Salz und Pfeffer untermischen. Mit Klarsichtfolie abdecken und bis zur Verwendung in den Kühlschrank stellen.

·           Auf jeder gerösteten Brotscheibe einen kleinen Löffel Avocadopüree nicht allzu glatt verstreichen. da es so hübscher aussieht. Ein Tomatenstück darauf setzen und mit einem Schnittlauchröllchen garnieren.

……………4

Artischocken-Torteletts

Von diesen herrlich knusprigen, warmen Brot-Torteletts mit Artischocken und Käse kann man einfach nicht genug bekommen. Und da die Zubereitung so einfach ist, sollte man ruhig eine größere Menge machen. Besonders leicht gelingen sie mit ganz normalem Weißbrot.

Zutaten        Ergibt 24 Stück

12 mitteldicke Scheiben Weißbrot

Weiche Butter zum Bestreichen

400 g Artischockenherzen aus dem Glas, abgegossen und gehackt

50 g frisch geriebener Parmesan

2 frische, fleischige, milde grüne Chilischoten, von Stielansatz, Samen und Scheidewänden befreit und fein gehackt

3 gehäufte EL Mayonnaise

1 Prise Salz

Frisch gemahlener schwarzer Pfeffer

Zubereitung ♦ Den Backofen auf 220 °C (Umluft 200 °C) vorheizen. Mit einem umgedrehten Glas oder einer runden

Ausstechform (Durchmesser 6 cm) aus den Brotscheiben je 2 Kreise ausstechen. Diese von einer Seite großzügig mit Butter bestreichen. Mit der bestrichenen Seite nach unten in eine beschichtete Muffinform setzen und mit den Fingern in die Aushöhlungen drücken.

+ Die übrigen Zutaten vermischen. Je 1 Esslöffel in die Brotböden füllen und glatt streichen. Im vorgeheiz¬ten Ofen 12-15 Minuten backen, bis die Torteletts goldbraun und knusprig sind. Kurz abkühlen lassen, aus der Form nehmen und warm servieren.

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Tortellinispieße mit Kräuteröl

Wer für viele Gäste kocht, verlässt sich gern einmal auf fertig vorbereitete Zutaten, wie etwa bei diesen Spießen. Die Arbeitszeit, die man für selbst gemachte Tortellini benötigt, kann man sicher an anderer Stelle brauchen. In gut sor-tierten Supermärkten bekommt man hervorragende frische Pasta, und noch besser sind, wenn auch teurer, frische Tortellini aus dem italienischen Feinkostgeschäft. Die Spieße eignen sich ideal für ein Fingerfood-Buffet, sie sehen verführerisch aus, sind gehaltvoll und leicht zu essen.

Zutaten        Ergibt 24 Stück

48 Tortellini mit Käsefüllung

300 g Büffel-Mozzarella, in grobe Stücke zerpflückt

24 beste entsteinte Oliven

12 sonnengetrocknete Tomaten in Öl,

jede in 2 Streifen geschnitten

Für das Kräuteröl:

Etwa 20 frische Basilikumblätter

Etwa 20 frische glatte Petersilienblätter

80 ml natives Olivenöl extra

Zubereitung ♦ Mit einem sauberen Tuch 24 Bambusspieße

abreiben, um kleine Holzsplitter zu entfernen. Die Tortellini in reichlich kochendem gesalzenem Wasser bissfest garen. Abgießen, unter fließendem kaltem Wasser abspülen und auf einem sauberen Küchen¬tuch zum Trocknen ausbreiten.

¨          Ein Stück Mozzarella und eine Olive mit einem Tomatenstreifen

dann das Mozzarella-Oliven-Päckchen auf einen Bambusspieß stecken und mit einem weiteren Tortellino abschließen. (Man kann die Zutaten natürlich auch in anderer Reihenfolge auf den Spieß stecken, der Geschmack bleibt der gleiche.) Die fertigen Spieße neben- und behutsam übereinander in eine Schale legen, mit Klarsichtfolie abdecken und im Kühlschrank kalt stellen. Vor dem Servieren rechtzeitig heraus¬nehmen und Raumtemperatur annehmen lassen.

¨          Für das Kräuteröl die Kräuter mit dem Öl im Mixer gründlich verrühren. Die Spieße auf einer Servierplatte anrichten und kurz vor dem Servieren mit dem Kräuteröl beträufeln..

Vorbereiten Die Spieße lassen sich bis zu 4 Stunden im Voraus herstellen.

Tipp!  Mehr Tortellini kaufen als benötigt werden, da einige beim Garen auseinander fallen können. Sie müssen

unbedingt noch Biss haben und dürfen nicht zu lange gegart werden. Wer keine Büffel-Mozzarella bekommt, kann auch solche aus Kuhmilch verwenden, am besten Fontina oder Havarti.

Servieren    Die Spieße passen am besten zu einem mediterranen Buffet

…………..6

Rohkostplatte »de luxe« mit Sesam-Dip

Dieser Sesam-Dip ist der einzige Dip, den ich je zubereite. Stets werde ich nach dem Rezept gefragt, und dann sind alle überrascht, dass etwas so Einfaches so wunderbar schmecken kann. Auch jemand, der kein rohes Gemüse mag, wird begeistert sein. Am besten schmeckt der Dip frisch zubereitet, da die Sesamsamen schnell weich werden.

Zutaten        Für 8-10 Personen

Für den Sesam-Dip:

50 g Sesamsamen

125 g griechischer oder ein anderer dicker, cremiger Joghurt

125 g Mayonnaise

3 EL dunkle Sojasauce

Für die Rohkostplatte (4-5 Gemüsesorten reichen aus):

Neue Minikartoffeln, gekocht

Grüne Spargelspitzen, blanchiert

Chicoreeblätter

Radieschen, ein kurzes Stück der Blattstängel belassen

Rohe Zuckerschoten

Einige Stangen Bleichsellerie aus der Mitte der Staude, mit ein

paar Blättern daran

Babymöhren, geputzt

Mundgerechte Brokkoliröschen

Mundgerechte Blumenkohlröschen

1 kleine Fenchelknolle, in Scheiben geschnitten  

Zubereitung ♦ Für den Dip eine Pfanne ohne Fett bei mittlerer Temperatur erhitzen. Die Sesamsamen einstreuen und

unter Rühren rösten, bis sie zu springen beginnen und leicht gebräunt sind. In einer Schale vollständig auskühlen lassen.

Sesamsamen, Joghurt, Mayonnaise und Sojasauce gut vermischen und in eine kleine Schüssel füllen. Eine Auswahl an Gemüserohkost auf einer Platte anrichten und mit dem Sesam-Dip servieren.

Scharfes Fenchelsalz vegan — Das Fenchelsalz ist eine gute Ergänzung zu dem cremigen Dip und passt besonders ideal zu Cocktailtomaten und knackigen Gurken.

Zutaten        1 EL grobes Meersalz; 8 schwarze Pfefferkörner; 1 TL Fenchelsamen; 1 TL Koriandersamen; 1 kleine

getrocknete Chilischote oder 1/2 TL Chilipulver

Zubereitung s Sämtliche Zutaten in einer Gewürzmühle oder im Mörser zu einem groben Pulver verarbeiten. In ein

kleines Schälchen füllen und servieren.

………..7

Gegrillte Gemüse-Antipasti mit mariniertem Mozzare la

Diese reichhaltige Platte mit saftigem Gemüse und mariniertem frischem Mozzarella ist absolut verführerisch. Man kann gar nicht zu viel davon zubereiten, es wird bestimmt alles gegessen. Wichtig ist eine gusseiserne Grillpfanne mit Rillen, am besten eine große, die über zwei Herdplatten reicht. Beim Grillen wird es in der Küche leider ziemlich rau¬chig (Fenster öffnen), aber genau dieser Rauch verleiht dem Gemüse den besonderen Geschmack. Jeglisches Gemüse eignet sich für diese Zubereitung, Wurzelgemüse muss jedoch zuvor blanchiert werden.

Zutaten        Für 8-10 Personen

400 g grüne Bohnen, geputzt

4 große oder 8 kleine Chicoreesprosse, längs halbiert

4 Fenchelknollen, geputzt und in dicke Scheiben geschnitten

2 Brokkoliköpfe, in lange Stücke geschnitten, Stiele geschält

Natives Olivenöl extra

Salz und frisch gemahlener schwarzer Pfeffer

Frisch gepresster Saft von 1-2 Zitronen

500 g Büffel-Mozzarella, in dicke Stücke zerpflückt

2 Knoblauchzehen

1 TL grobes Meersalz

1 Hand voll frisch gehackte glatte Petersilie

4 EL Olivenöl

1 Bund frisches Basilikum, die Blätter zerpflückt 

Zubereitung ♦ Eine gusseiserne Grillpfanne mit Rillen 10 Minuten stark erhitzen. In der Zwischenzeit das Gemüse

vorbereiten. Jede Gemüsesorte separat in eine Schüssel legen und leicht mit Olivenöl beträufeln, mit den Händen wenden, bis es gleichmäßig mit dem Öl überzogen ist. Nacheinander in der Pfanne weich grillen und dabei Farbe und das Grillmuster annehmen lassen

¨          Die fertigen Gemüsesorten wieder in die Schüsseln füllen und mit Salz und Pfeffer würzen. Bohnen, Chicoree und Fenchel noch heiß mit Zitronensaft beträufeln, jedoch nicht den Brokkoli, da er sich verfärben könnte. Das Gemüse abkühlen lassen und in Plastikdosen bis zur Verwendung in den Kühlschrank stellen.

¨          Die zerpflückte Mozzarella in eine große Schüssel legen. Für die Marinade den Knoblauch mit dem Salz im Mörser zerreiben, die Petersilie grob darunter arbeiten. Olivenöl und Basilikum unterschlagen. Die Marinade vorsichtig unter die Mozzarella rühren. Für mindestens 1 Stunde im Kühlschrank kalt stellen. Das gegrillte Gemüse mit der Mozzarella auf einer Platte anrichten und sofort servieren.

Vorbereiten Diese Antipasti-Platte kann man bis zu 1 Tag im Voraus zubereiten. Dafür das Gemüse in separaten

Plastikdosen kalt stellen.

Tipp!  Büffel-Mozzarella ist eine echte Delikatesse und passt ideal zum gegrillten Gemüse. Bekommt man sie

nicht, eignet sich auch Mozzarella aus Kuhmilch. Frischer Mozzarella verdirbt jedoch schnell. Er muss kalt stehen, bis man ihn mit der Marinade vermischt.

Servieren    Dazu passen Blattsalate und reichlich Bauernbrot.

Neuronale Netze Berechnungen Author D. Selzer-McKenzie Youtube: https://youtu.be/XbTvf80IMos Für Matrizen gibt es in der linearen Algebra eine ganze Menge an interessanten Funktionen. Sicherlich eine der wichtigsten ist die Bestimmung der sogenannten Determinanten. Eine Determinante ist eine Funktion, die auf eine quadratische Matrix angewendet werden kann, und nur auf eine quadratische Matrix. Man kann damit feststellen, ob ein lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist. Man kann sogar die Lösung mithilfe der sogenannten Cramerschen Regel explizit angeben. Ein Gleichungssystem das über eine Matrix repräsentiert wird, das macht die sogenannte Koeffizientenmatrix. Ein solches Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die Determinante nicht null ist. Und dann ist eine Matrix auch invertierbar. Es gibt also wichtige Gründe, sich mit Determinanten von quadratischen Matrizen zu beschäftigen. Nun kann man die Determinante einer quadratischen Matrix sehr einfach berechnen, wenn man geeignete Programme einsetzt. Beispielsweise sehen Sie hier: Es gibt diese Funktion "det", Determinante. Man schreibt eine quadratische Matrix rein und der Wert wird berechnet, es kommt -2 raus. Aber wie ergibt sich dieser Wert? Nun, bei einer Zwei-Kreuz-Zwei Matrix ist das ganz einfach. Sie müssen den Wert hier oben mal den Wert hier unten nehmen und ziehen den Wert 5 mal 6, also hier das Kreuz, sozusagen wieder ab. Und was rauskommt, ist die Determinante. Es ist nicht mehr ganz so einfach, wenn Sie keine Zwei-Kreuz-Zwei Matrix vorliegen haben. Ganz und gar nicht. Wir schauen uns das mal an. Ich nehme mal eine Drei-Kreuz-Drei Matrix, auch die muss natürlich quadratisch sein und wir geben ein paar Werte ein, und berechnen die Determinante. Der Wert ist null. Das heißt, diese Determinante ist offensichtlich als Koeffizienten Matrix, von einem Gleichungssystem betrachtet. dann eben nicht eindeutig lösbar. Genauer genommen ist das Gleichungssystem, das davon repräsentiert wird, nicht eindeutig lösbar und diese Matrix ist auch nicht invertierbar. Aber wie berechnet man diese Determinante? Wir können ja nicht einfach sagen: Wir multiplizieren hier diese Diagonale und diese Diagonale und ziehen sie voneinander ab, da bleiben ja noch die 2, 4, 6 und 8 übrig, die wir so nicht erwischen. Es gibt verschiedene Techniken, wie man das machen kann. Und die in der Regel einfachste und die auch in der Schule in der Regel gelehrte Technik, ist, dass man versucht diesen Ausdruck auf Zwei-Kreuz-Zwei Matrixen zu reduzieren. Das heißt, man nimmt hier diese 1, also diese Position hier und berechnet dann die Determinante von 5, 6, 8 und 9, also die hier übrig bleibende Zwei-Kreuz-Zwei Determinante aus. Dann nimmt man die 2, dann nimmt man die 3 und rechnet jeweils gestrichen die Spalte, die hier unterhalb steht und verknüpft dann die Resultate. Dieses Verfahren nennt man den Laplaceschen Entwicklungssatz. Dabei entwickelt man eine Determinante einer n-Kreuz-n Matrix nach einer Zeile oder auch nach einer Spalte. Und Sie sehen, hier dieses Programm hat auch genau diesen Laplaceschen Lösungsansatz, den Entwicklungssatz verwendet. Ich nehme also erst die 5 mal 9 -6 mal 8, dann zieh ich davon 4 mal 9 -6 mal 7 ab, multipliziere hier oben den Wert 2 und dann addiere ich 3, also hier oben den Wert 4 mal 8 -5 mal 7. Ich entwickle die Determinante also nach der ersten Zeile. Wohl bemerkt, das ist nur eine Möglichkeit die Determinante zu berechnen, aber eine sehr effektive und einfache Methode. Sie haben also in diesem Video gesehen, was eine Determinante ist, wofür sie da ist, was Sie daraus für Aussagen schließen können, und wie man Determinanten grundsätzlich entwickelt, insbesondere nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz. ……………. Der Logarithmus einer Zahl ist ein Exponent, und zwar derjenige, mit dem eine Basis potenziert werden muss, um eine gegebene Zahl zu erhalten. Logarithmen sind nur für positive reele Zahlen definiert und auch die Basis selbst muss positiv sein. Der Logarithmus einer Zahl "x" zu einer Basis "b" ist also der Wert des Exponenten, wenn "x" als Potenz zu Basis "b" dargestellt wird. Es ist also diejenige Zahl "y", die diese Gleichung löst. "b hoch y ist gleich x" Wenn man nun "y" bestimmt, schreibt man das über die Abkürzung "log", für Logarithmus und notiert die Basis hier tief gestellt. Sie finden Möglichkeiten zum Berechnen des Logarithmus auch mit solcher Notation auf dem Taschenrechner bzw. in entsprechenden mathematischen Programmen. Logarithmieren ist also eine Umkehroperation des Potenzieren. Nun ist diese Basis "b" frei wählbar, aber es gibt einige besondere Logarithmen, die anderen gegenüber ausgezeichnet sind. Natürlich zur Basis zehn - weil wir mit unserem Dezimalsystem natürlich arbeiten. Aber auch zur Basis zwei, wenn wir das Dualsystem betrachten. Und besonders wichtig ist der sogenannte natürliche Logarithmus. Das ist die Basis "e" , die hier eine Rolle spielt, die sogenannte Euler'sche Zahl: 2,71828 und so weiter. Diese taucht in vielen Prozessen der Natur oder der Technik auf. Mit Logarithmen lassen sich sehr stark anwachsende Zahlenreihen sehr übersichtlich gestalten. Denn der Logarithmus für große Zahlen wächst viel langsamer als die Zahl selbst. Das sagt ja genau logarithmisch wachsen. Viele Rechenoperationen lassen sich durch Bildung des Logarithmus erheblich vereinfachen. In Taschenrechnern, Taschenrechner-Apps oder einem mathematischen Programm wie Microsoft Mathematics, finden Sie Unterstützung für den Logarithmus. Beispielsweise hier Log, das ist die Möglichkeit zur Basis zehn den Logarithmus zu bilden oder Ln für den natürlichen Logarithmus. Wir können ja mal, hier, den Logarithmus von einer Zahl bilden. D.h. man wird ganz einfach hier, Log(Wert) bilden und dann mit Eingabe ist der Wert berechnet. Warum habe ich die Zahl 100 gewählt? Wir haben die Basis zehn und zehn hoch was gibt 100, naja zwei! Das ist eben besagter Logarithmus. Wir haben in diesem Video nur einen kurzen Einblick in den Umgang mit Logarithmus bekommen, und für die Rechenoperationen, die man mit dem Logarithmus ausführen kann, verweise ich auf weitergehende Literatur. Aber grundsätzlich, sollte man als Programmierer zumindest wissen was der Logarithmus ist, und auch den natürlichen Logarithmus und die Euler'sche Zahl kennen. …………………. Das Konzept der Matrizen -- oder Singular, einer Matrix -- steht im Fokus von diesem Video. Eine Matrix ist erst einmal nur eine rechteckige Anordnung von Elementen, meist Zahlen. Man kann sich das durchaus als Tabelle vorstellen. Mit den Objekten in dieser Tabelle, in dieser rechteckigen Anordnung, lässt sich auf eine bestimmte Art und Weise rechnen. Es gibt verschiedene Regeln, Konzepte, was man mit Matrizen machen kann. Man kann sie addieren, miteinander multiplizieren, man kann mit einem Skalar multiplizieren und ähnliche Dinge. Wir werden ein paar wesentliche Konzepte hier in diesem Video kennenlernen. Matrizen können eine beliebige Dimensionalität besitzen. Sehr oft sind sie zweidimensional, aber das ist durchaus erweiterbar, und sie stellen ein Schlüsselkonzept der sog. linearen Algebra dar. Sie werden aber auch in anderen mathematischen Konzepten benutzt. Matrizen werden insbesondere dazu benutzt, lineare Abbildungen darzustellen und lineare Gleichungssysteme zu beschreiben und zu lösen. Ich habe hier ein Programm, womit wir eine Matrix sehr einfach eingeben können. Und diese Darstellung mit diesen runden Klammern ist üblich. Nun können wir mit dieser Matrix beispielsweise rechnen. Wir können sie mit einer anderen Matrix addieren, d.h. wir würden hier ein Pluszeichen machen und eine weitere Matrix einfügen. Die sollte, damit es einfach ist, die gleiche Dimension haben. Einmal die 7, 8, 9, und die 10. Und hier sehen Sie, was rauskommt. Es ist relativ offensichtlich, dass die Addition von Matrizen sehr einfach ist. Sie machen nichts weiter als die jeweiligen Positionen immer miteinander zu addieren. Also, 3 plus 7, das ist die erste Position links oben mit der ersten Position links oben. 4 plus 8 sind 12, 5 plus 9 sind 14 und 6 plus 10 gibt 16. Das Programm ist auch sehr nützlich, um die einzelnen Lösungsschritte zu sehen. Sie sehen also bei der Addition werden, wie beschrieben, die einzelnen Positionen dieser beiden verknüpften Matrizen addiert. Die Multiplikation einer Matrix ist auch sehr einfach, insbesondere wenn sie mit einem Skalar multipliziert werden soll. Wir nehmen wieder eine Matrix, multiplizieren beispielsweise mit dem Wert 5. Und Sie sehen, dass jeder einzelne Wert in der Matrix mit der Zahl 5 multipliziert wurde. Sie können auch Matrizen miteinander multiplizieren, allerdings muss dann die Spaltenanzahl der linken Matrix mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmen. Das ist selbstverständlich dann gegeben, wenn sie rechteckig und gleich groß sind. Fangen wir mal damit an. Wie ergeben sich nun diese Zahlen? Nun, Sie müssen die erste Zeile dieser Matrix mit der ersten Spalte der verknüpften Matrix verbinden. Und zwar so, dass Sie rechnen: 3 mal 2 plus 4 mal 6. Und damit haben Sie den ersten Zielwert. Dann nehmen Sie 3 mal 4 plus 4 mal 8 und haben den zweiten Zielwert. Das ist diese Position. Dann nehmen Sie 5 mal 2 plus 6 mal 6. Dann haben Sie diese Position. 5 mal 4 plus 6 mal 8, haben Sie diese Position. Sie merken also, warum die Spaltenanzahl der linken mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmen muss. Schauen wir uns das nochmal für einen Fall an, wo wir keine identisch großen Matrizen haben. Ich nehme eine Matrix, zwei Zeilen, drei Spalten, und multipliziere diese mit einer Matrix mit drei Zeilen und zwei Spalten. Und das funktioniert. Denn wir haben die Möglichkeit, jede Spalte in der linken Matrix mit einer genauso großen Anzahl an Zeilen in der rechten Matrix zu verknüpfen. Nun gibt es noch eine ganze Reihe an weiteren Konzepten bei Matrizen, die nicht ganz uninteressant sind, die ich aber nur andeuten möchte. Wenn ich beispielsweise eine Matrix habe, die ich transponieren möchte, dann drehe ich die Position an einer gedachten Mittellinie um, in einer Diagonalen. D.h. wenn wir ganz normal die Zahlen 1 bis 9 haben, und transponiere diese Matrix -- genau genommen, muss ich das als Funktion davor schreiben -- dann sehen Sie, dass die Zahl 7, die ursprünglich links unten jetzt rechts oben steht, die Zahl 2, die ursprünglich in der Mitte oben jetzt auf der linken Seite in der Mitte steht. An dieser Linie von 1 bis 9 wurden die Werte quasi gespiegelt. Wir wollen es in diesem Video damit gut sein lassen, auch wenn es noch weitere Konzepte gibt, wie das Invertieren von Matrizen und ähnliche Sachen. Sie haben aber in diesem Video jetzt einen Einblick bekommen, was Matrizen sind und wie man sie bei einfachen Operationen verknüpfen kann, auch wie sie beispielsweise mit einem Skalar verbunden werden können. ………………..

Neuronale Netze  Berechnungen

Author D. Selzer-McKenzie

Youtube: https://youtu.be/XbTvf80IMos

Für Matrizen gibt es in der linearen Algebra eine ganze Menge an interessanten Funktionen. Sicherlich eine der wichtigsten ist die Bestimmung der sogenannten Determinanten. Eine Determinante ist eine Funktion, die auf eine quadratische Matrix angewendet werden kann, und nur auf eine quadratische Matrix. Man kann damit feststellen, ob ein lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist. Man kann sogar die Lösung mithilfe der sogenannten Cramerschen Regel explizit angeben.

Ein Gleichungssystem das über eine Matrix repräsentiert wird, das macht die sogenannte Koeffizientenmatrix. Ein solches Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die Determinante nicht null ist. Und dann ist eine Matrix auch invertierbar. Es gibt also wichtige Gründe, sich mit Determinanten von quadratischen Matrizen zu beschäftigen. Nun kann man die Determinante einer quadratischen Matrix sehr einfach berechnen, wenn man geeignete Programme einsetzt.

Beispielsweise sehen Sie hier: Es gibt diese Funktion "det", Determinante. Man schreibt eine quadratische Matrix rein und der Wert wird berechnet, es kommt -2 raus. Aber wie ergibt sich dieser Wert? Nun, bei einer Zwei-Kreuz-Zwei Matrix ist das ganz einfach. Sie müssen den Wert hier oben mal den Wert hier unten nehmen und ziehen den Wert 5 mal 6, also hier das Kreuz, sozusagen wieder ab.

Und was rauskommt, ist die Determinante. Es ist nicht mehr ganz so einfach, wenn Sie keine Zwei-Kreuz-Zwei Matrix vorliegen haben. Ganz und gar nicht. Wir schauen uns das mal an. Ich nehme mal eine Drei-Kreuz-Drei Matrix, auch die muss natürlich quadratisch sein und wir geben ein paar Werte ein, und berechnen die Determinante.

Der Wert ist null. Das heißt, diese Determinante ist offensichtlich als Koeffizienten Matrix, von einem Gleichungssystem betrachtet. dann eben nicht eindeutig lösbar. Genauer genommen ist das Gleichungssystem, das davon repräsentiert wird, nicht eindeutig lösbar und diese Matrix ist auch nicht invertierbar. Aber wie berechnet man diese Determinante? Wir können ja nicht einfach sagen: Wir multiplizieren hier diese Diagonale und diese Diagonale und ziehen sie voneinander ab, da bleiben ja noch die 2, 4, 6 und 8 übrig, die wir so nicht erwischen.

Es gibt verschiedene Techniken, wie man das machen kann. Und die in der Regel einfachste und die auch in der Schule in der Regel gelehrte Technik, ist, dass man versucht diesen Ausdruck auf Zwei-Kreuz-Zwei Matrixen zu reduzieren. Das heißt, man nimmt hier diese 1, also diese Position hier und berechnet dann die Determinante von 5, 6, 8 und 9, also die hier übrig bleibende Zwei-Kreuz-Zwei Determinante aus. Dann nimmt man die 2, dann nimmt man die 3 und rechnet jeweils gestrichen die Spalte, die hier unterhalb steht und verknüpft dann die Resultate.

Dieses Verfahren nennt man den Laplaceschen Entwicklungssatz. Dabei entwickelt man eine Determinante einer n-Kreuz-n Matrix nach einer Zeile oder auch nach einer Spalte. Und Sie sehen, hier dieses Programm hat auch genau diesen Laplaceschen Lösungsansatz, den Entwicklungssatz verwendet. Ich nehme also erst die 5 mal 9 -6 mal 8, dann zieh ich davon 4 mal 9 -6 mal 7 ab, multipliziere hier oben den Wert 2 und dann addiere ich 3, also hier oben den Wert 4 mal 8 -5 mal 7.

Ich entwickle die Determinante also nach der ersten Zeile. Wohl bemerkt, das ist nur eine Möglichkeit die Determinante zu berechnen, aber eine sehr effektive und einfache Methode. Sie haben also in diesem Video gesehen, was eine Determinante ist, wofür sie da ist, was Sie daraus für Aussagen schließen können, und wie man Determinanten grundsätzlich entwickelt, insbesondere nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz.

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Der Logarithmus einer Zahl ist ein Exponent, und zwar derjenige, mit dem eine Basis potenziert werden muss, um eine gegebene Zahl zu erhalten. Logarithmen sind nur für positive reele Zahlen definiert und auch die Basis selbst muss positiv sein. Der Logarithmus einer Zahl "x" zu einer Basis "b" ist also der Wert des Exponenten, wenn "x" als Potenz zu Basis "b" dargestellt wird.

Es ist also diejenige Zahl "y", die diese Gleichung löst. "b hoch y ist gleich x" Wenn man nun "y" bestimmt, schreibt man das über die Abkürzung "log", für Logarithmus und notiert die Basis hier tief gestellt. Sie finden Möglichkeiten zum Berechnen des Logarithmus auch mit solcher Notation auf dem Taschenrechner bzw. in entsprechenden mathematischen Programmen.

Logarithmieren ist also eine Umkehroperation des Potenzieren. Nun ist diese Basis "b" frei wählbar, aber es gibt einige besondere Logarithmen, die anderen gegenüber ausgezeichnet sind. Natürlich zur Basis zehn - weil wir mit unserem Dezimalsystem natürlich arbeiten. Aber auch zur Basis zwei, wenn wir das Dualsystem betrachten. Und besonders wichtig ist der sogenannte natürliche Logarithmus.

Das ist die Basis "e" , die hier eine Rolle spielt, die sogenannte Euler'sche Zahl: 2,71828 und so weiter. Diese taucht in vielen Prozessen der Natur oder der Technik auf. Mit Logarithmen lassen sich sehr stark anwachsende Zahlenreihen sehr übersichtlich gestalten. Denn der Logarithmus für große Zahlen wächst viel langsamer als die Zahl selbst. Das sagt ja genau logarithmisch wachsen.

Viele Rechenoperationen lassen sich durch Bildung des Logarithmus erheblich vereinfachen. In Taschenrechnern, Taschenrechner-Apps oder einem mathematischen Programm wie Microsoft Mathematics, finden Sie Unterstützung für den Logarithmus. Beispielsweise hier Log, das ist die Möglichkeit zur Basis zehn den Logarithmus zu bilden oder Ln für den natürlichen Logarithmus. Wir können ja mal, hier, den Logarithmus von einer Zahl bilden.

D.h. man wird ganz einfach hier, Log(Wert) bilden und dann mit Eingabe ist der Wert berechnet. Warum habe ich die Zahl 100 gewählt? Wir haben die Basis zehn und zehn hoch was gibt 100, naja zwei! Das ist eben besagter Logarithmus. Wir haben in diesem Video nur einen kurzen Einblick in den Umgang mit Logarithmus bekommen, und für die Rechenoperationen, die man mit dem Logarithmus ausführen kann, verweise ich auf weitergehende Literatur.

Aber grundsätzlich, sollte man als Programmierer zumindest wissen was der Logarithmus ist, und auch den natürlichen Logarithmus und die Euler'sche Zahl kennen.

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Das Konzept der Matrizen -- oder Singular, einer Matrix -- steht im Fokus von diesem Video. Eine Matrix ist erst einmal nur eine rechteckige Anordnung von Elementen, meist Zahlen. Man kann sich das durchaus als Tabelle vorstellen. Mit den Objekten in dieser Tabelle, in dieser rechteckigen Anordnung, lässt sich auf eine bestimmte Art und Weise rechnen. Es gibt verschiedene Regeln, Konzepte, was man mit Matrizen machen kann. Man kann sie addieren, miteinander multiplizieren, man kann mit einem Skalar multiplizieren und ähnliche Dinge.

Wir werden ein paar wesentliche Konzepte hier in diesem Video kennenlernen. Matrizen können eine beliebige Dimensionalität besitzen. Sehr oft sind sie zweidimensional, aber das ist durchaus erweiterbar, und sie stellen ein Schlüsselkonzept der sog. linearen Algebra dar. Sie werden aber auch in anderen mathematischen Konzepten benutzt. Matrizen werden insbesondere dazu benutzt, lineare Abbildungen darzustellen und lineare Gleichungssysteme zu beschreiben und zu lösen.

Ich habe hier ein Programm, womit wir eine Matrix sehr einfach eingeben können. Und diese Darstellung mit diesen runden Klammern ist üblich. Nun können wir mit dieser Matrix beispielsweise rechnen. Wir können sie mit einer anderen Matrix addieren, d.h. wir würden hier ein Pluszeichen machen und eine weitere Matrix einfügen. Die sollte, damit es einfach ist, die gleiche Dimension haben. Einmal die 7, 8, 9, und die 10.

Und hier sehen Sie, was rauskommt. Es ist relativ offensichtlich, dass die Addition von Matrizen sehr einfach ist. Sie machen nichts weiter als die jeweiligen Positionen immer miteinander zu addieren. Also, 3 plus 7, das ist die erste Position links oben mit der ersten Position links oben. 4 plus 8 sind 12, 5 plus 9 sind 14 und 6 plus 10 gibt 16. Das Programm ist auch sehr nützlich, um die einzelnen Lösungsschritte zu sehen.

Sie sehen also bei der Addition werden, wie beschrieben, die einzelnen Positionen dieser beiden verknüpften Matrizen addiert. Die Multiplikation einer Matrix ist auch sehr einfach, insbesondere wenn sie mit einem Skalar multipliziert werden soll. Wir nehmen wieder eine Matrix, multiplizieren beispielsweise mit dem Wert 5.

Und Sie sehen, dass jeder einzelne Wert in der Matrix mit der Zahl 5 multipliziert wurde. Sie können auch Matrizen miteinander multiplizieren, allerdings muss dann die Spaltenanzahl der linken Matrix mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmen. Das ist selbstverständlich dann gegeben, wenn sie rechteckig und gleich groß sind. Fangen wir mal damit an.

Wie ergeben sich nun diese Zahlen? Nun, Sie müssen die erste Zeile dieser Matrix mit der ersten Spalte der verknüpften Matrix verbinden. Und zwar so, dass Sie rechnen: 3 mal 2 plus 4 mal 6. Und damit haben Sie den ersten Zielwert.

Dann nehmen Sie 3 mal 4 plus 4 mal 8 und haben den zweiten Zielwert. Das ist diese Position. Dann nehmen Sie 5 mal 2 plus 6 mal 6. Dann haben Sie diese Position. 5 mal 4 plus 6 mal 8, haben Sie diese Position. Sie merken also, warum die Spaltenanzahl der linken mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmen muss.

Schauen wir uns das nochmal für einen Fall an, wo wir keine identisch großen Matrizen haben. Ich nehme eine Matrix, zwei Zeilen, drei Spalten, und multipliziere diese mit einer Matrix mit drei Zeilen und zwei Spalten.

Und das funktioniert. Denn wir haben die Möglichkeit, jede Spalte in der linken Matrix mit einer genauso großen Anzahl an Zeilen in der rechten Matrix zu verknüpfen. Nun gibt es noch eine ganze Reihe an weiteren Konzepten bei Matrizen, die nicht ganz uninteressant sind, die ich aber nur andeuten möchte. Wenn ich beispielsweise eine Matrix habe, die ich transponieren möchte, dann drehe ich die Position an einer gedachten Mittellinie um, in einer Diagonalen.

D.h. wenn wir ganz normal die Zahlen 1 bis 9 haben, und transponiere diese Matrix -- genau genommen, muss ich das als Funktion davor schreiben -- dann sehen Sie, dass die Zahl 7, die ursprünglich links unten jetzt rechts oben steht, die Zahl 2, die ursprünglich in der Mitte oben jetzt auf der linken Seite in der Mitte steht. An dieser Linie von 1 bis 9 wurden die Werte quasi gespiegelt.

Wir wollen es in diesem Video damit gut sein lassen, auch wenn es noch weitere Konzepte gibt, wie das Invertieren von Matrizen und ähnliche Sachen. Sie haben aber in diesem Video jetzt einen Einblick bekommen, was Matrizen sind und wie man sie bei einfachen Operationen verknüpfen kann, auch wie sie beispielsweise mit einem Skalar verbunden werden können.

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Wetter am 5.2.2018 in München Youtube: https://youtu.be/mgXak8smljE Film and Sound by D. Selzer-McKenzie

Wetter am 5.2.2018 in München
Youtube: https://youtu.be/mgXak8smljE
Film and Sound by D. Selzer-McKenzie

Künstliche Intelligenz als Roulette-Strategie mit hohen Gewinnen Author D. Selzer-McKenzie Youtube: https://youtu.be/krwkOz7h4q0 Im obigen Video sehen Sie eine Live Sitzung, die ich heute am 5. Februar 2018 in einem Internet Casino gemacht habe, und zwar mit unserer Software künstliche Intelligenz, dem Gann-Scientific-Roulettesystem. Dieses Roulettesystem wird ganz automatisch von der künstlichen Intelligenz gesteuert, und die künstliche Intelligenz, entscheidet auch, ob ein Satz erfolgen soll oder nicht. Die komplette Software können Sie kostenlos auf unserer Internetseite für Ihren Computer und auch als Handy -App für Ihr Handy down laden. Diese künstliche Intelligenz ist so effizient, dass Sie heute einen ganz deutlichen Gewinn im Casino erwirtschaftet hat. Wie sie auf dem Video sehen, sind folgende Zahlen erschienen: drei, 27, vier, 26, 21, 24, 16, elf, 23, acht, 34, 13, 23,5, 24,32, 23,36,. Ich habe also insgesamt 18 Runden gespielt, in diesen 18 Runden waren genau vier Sätze erforderlich, und alle Sätze hat die künstliche Intelligenz selbst nach dem System bestimmt und auch gesetzt und ich habe, wie Sie sehen alle vier Sätze gewonnen. Gesetzt wurden pro Satz neun Stücke, im Gewinnsfall bekam ich 36 Stücke zurück, und da ich alle vier Sätze gewonnen habe, hat es in kurzer Zeit einen Nettogewinn von 4 × 27 ist 108 Stücke Nettogewinn gegeben.

Künstliche Intelligenz als Roulette-Strategie mit hohen Gewinnen

Author D. Selzer-McKenzie

Youtube: https://youtu.be/krwkOz7h4q0

Im obigen Video sehen Sie eine Live Sitzung, die ich heute am 5. Februar 2018 in einem Internet Casino gemacht habe, und zwar mit unserer Software künstliche Intelligenz, dem Gann-Scientific-Roulettesystem. Dieses Roulettesystem wird ganz automatisch von der künstlichen Intelligenz gesteuert, und die künstliche Intelligenz, entscheidet auch, ob ein Satz erfolgen soll oder nicht.

Die komplette Software können Sie kostenlos auf unserer Internetseite für Ihren Computer und auch als Handy -App für Ihr Handy down laden.

Diese künstliche Intelligenz ist so effizient, dass Sie heute einen ganz deutlichen Gewinn im Casino erwirtschaftet hat. Wie sie auf dem Video sehen, sind folgende Zahlen erschienen: drei, 27, vier, 26, 21, 24, 16, elf, 23, acht, 34, 13, 23,5, 24,32, 23,36,. Ich habe also insgesamt 18 Runden gespielt, in diesen 18 Runden waren genau vier Sätze erforderlich, und alle Sätze hat die künstliche Intelligenz selbst nach dem System bestimmt und auch gesetzt und ich habe, wie Sie sehen alle vier Sätze gewonnen. Gesetzt wurden pro Satz neun Stücke, im Gewinnsfall bekam ich 36 Stücke zurück, und da ich alle vier Sätze gewonnen habe, hat es in kurzer Zeit einen Nettogewinn von 4 × 27 ist 108 Stücke Nettogewinn gegeben.

Kochen 5.2.2018 mit Fernsehkoch Selzer-McKenzie Youtube: https://youtu.be/j21hOXeUUKw Avocado-Nuss-Salat mit Mango Zubereitung ca. 30 Minuten 4 Portionen · 80 g Haselnüsse • 1 Knoblauchzehe · 20 g Ingwer • 1/2 rote Chilischote · 6 EL Sojasauce • 1 EL Rohrzucker · 5 EL Limettensaft • 4 EL Sonnenblu¬menöl • 1 kleine Salatgurke · 2 Lauchzwiebeln • 1 Mango • 2 genuss¬reife Avocados • 1 kleiner Eisbergsalat · 1 Handvoll Korianderblätter · 1/2 Handvoll Minzblätter 1 Haselnüsse fein hacken. In einer Pfanne ohne Fett rösten, abkühlen lassen. Knoblauch und Ingwer schälen. Aus der Chilischote die Kerne heraus-kratzen. Knoblauch, Ingwer und Chili zusammen fein hacken, mit Sojasauce, Rohrzucker, Limettensaft und 2 EL Was-ser in einen Topf geben. Unter Rühren langsam erwärmen, bis der Zucker sich aufgelöst hat. Sonnenblumenöl unter-rühren. Abkühlen lassen. 2 Gurke längs in dünne Streifen hobeln. Lauchzwiebeln putzen und in feine Ringe schneiden. Mango schälen, das Fruchtfleisch vom Stein lösen und in feine Streifen schneiden. Avocados halbieren, Kern entfernen und Frucht-fleisch mit dem Löffel aus den Schalen lösen. Hälften jeweils noch einmal hal-bieren und in die Haselnüsse drücken. 3 Eisbergsalat in feine Streifen schnei-den. Mit Mango, Lauchzwiebeln, Kräu-tern, Gurke und der Marinade mischen. Auf Tellern anrichten. Je 2 Avocadovier-tel auf jeden Salat setzen. …….2 Spaghetti mit Avocadosauce Zubereitung ca. 25 Minuten 4 Portionen · 60 g Kabanossi • 2 Knoblauchzehen · 1 Handvoll Basilikumblätter · 2 reife Avocados • 4 EL Zitronensaft · 6 EL Olivenöl • Salz, Pfeffer · 400 g Spaghetti • 180 g Fetakäse · 8o g EDEKA Antipasti Kalamata Oliven 1 Kabanossi fein würfeln. Knoblauch schälen. Eine Knoblauchzehe in dünne Scheiben schneiden und mit 8 schönen Basilikumblättern zur Seite legen. Avocados halbieren, den Stein entfernen und das Fruchtfleisch aus der Schale lösen. Avocado mit restlichem Basilikum, Zitronensaft, 2 EL Olivenöl und der übrigen Knoblauchzehe fein pürieren. Mit Salz und Pfeffer würzen. 2 Pasta nach Packungsanleitung al dente kochen. Inzwischen restliches Öl in einer kleinen Pfanne erhitzen. Kabanossi und Knoblauch darin braten, bis der Knoblauch goldbraun ist Pfanne vom Herd nehmen. Kurz vor Garzeitende 4 EL Pastawasser abnehmen und unter die Avocadosauce rühren. Fetakäse in Scheiben schneiden. Pasta abseihen und gut abtropfen lassen. Mit der Sauce mischen. In Pastaschalen anrichten. Knoblauchöl mit Wurst darübergeben. Fetakäse und Oliven darauf verteilen. Mit den zurückgelegten Basilikumblättern garnieren. ……..3 Couscous-Taler mit Avocado-Kichererbsen-Creme Zubereitung ca. 45 Minuten 4 Portionen · 250 g Couscous • 250 ml Gemüsebrü¬he • 1/2 TL Kurkuma, gemahlen ((.• 700 g Weißkohl) • Salz, Pfeffer · 2 EL Sesam • 3 Knoblauchzehen · 240 g EDEKA Kichererbsen (Dose) · 2 genussreife Avocados · 10 EL Zitronensaft · 1 Prise Paprikapulver (rosenscharf) · 3o g getrocknete Cranberries · 1/2 rote Zwiebel • 2 Eier (Gr. M) · 1 EL Zucker • 4 EL Olivenöl \‘,2 Bund Dill • 2 EL Sonnenblumenöl g 1 Couscous mit Brühe und Kurkuma nach Packungsanleitung garen und ab-kühlen lassen. Für den Salat Kohlkopf vierteln, Strunk herausschneiden und den Rest in feine Streifen hobeln. 700 g abwiegen. Kohl mit 1 TL Salz mischen. Mit den Händen ca. 3 Minuten kräftig durchkneten und ca. 10 Minuten ziehen lassen. 2 Inzwischen den Sesam in einer Pfan-ne ohne Fett rösten. Auf einem Teller abkühlen lassen. Knoblauchzehen schä¬len. Kichererbsen kalt abspülen und abtropfen lassen. Avocados halbieren, Steine entfernen und das Fruchtfleisch herauslösen. 11/2 Avocados mit 2 Knob¬lauchzehen, Kichererbsen und 6 EL Zitronensaft fein pürieren. Mit Salz und Paprikapulver würzen. Kalt stellen. 3 Cranberries grob hacken. Zwiebel schälen und würfeln. Zwiebel und Cran-berries mit den Eiern unter den Cous-cous mischen. 1/3 der Masse abnehmen, mit einem Pürierstab fein mixen wieder unter den restlichen Couscous mischen. Mit Salz und Pfeffer würzen. Zu 12 Talern formen. Restliches Avoca¬dofleisch in dünne Streifen schneiden. Mit 1 EL Zitronensaft mischen. 4 Die Flüssigkeit des Kohls abgießen. Kohl mit Zucker, 3 EL Zitronensaft und 4 EL Olivenöl mischen. Mit Salz und Pfeffer würzen. Dill grob hacken. Son-nenblumenöl in einer großen Pfanne erhitzen. Taler darin bei mittlerer Hitze von jeder Seite ca. 5 Minuten goldbraun braten. 5 Währenddessen die Avocadocreme auf 4 Teller streichen. Avocadostreifen am Tellerrand anrichten. Taler auf Kü-chenpapier abtropfen lassen und auf die Avocadocreme setzen. Mit Krautsalat anrichten und mit Sesam und Dill be-streuen. Restlichen Salat dazu servieren. Pro Portion: ca. 895 kcal, ……4 Avocado- Schokoladen-Pudding mit Karamellsauce Zubereitung ca. 30 Minuten +1 Stunde Kühlzeit 4 Portionen Für die Karamellsauce: · so g Butter • 100 g Zucker · 6 EL Sahne • 2 EL Zitronensaft · 1/2 Vanilleschote Für den Pudding: · 1/2 Vanilleschote • 3 genussreife Avocados • 130 ml Milch • 70 g cremige Erdnussbutter • 15 g Backkakao · so g Zucker • 60 g GUT&GÜNSTIG Erdnüsse geröstet und gesalzen · 120 ml Sahne 1 Für die Karamellsauce alle Zutaten bereitstellen. Butter in kleine Stücke würfeln. Eine große Pfanne erhitzen und die Hälfte des Zuckers einstreuen, sodass der Boden bedeckt ist. Sobald er flüssig wird, den restlichen Zucker darüberstreuen und schmelzen lassen. Nicht rühren, damit keine Klümpchen entstehen. Butter nach und nach mit einem Holzlöffel einrühren. Sahne und Zitronensaft dazugeben, unter Rühren aufkochen und 30 Sekunden kochen lassen. Von der Herdplatte nehmen. Vanilleschote längs aufschlitzen, Mark herauskratzen und die Hälfte davon in die Sauce rühren. Bei Zimmertemperatur abkühlen lassen. 2 Für den Pudding den Rest vom Vanillemark beiseitestellen. Avocados halbieren, entsteinen und das Fruchtfleisch mit einem Esslöffel aus den Schalen lösen. Fruchtfleisch mit Vanillemark, Milch, Erdnussbutter, Kakao und Zucker fein pürieren. In 4 Dessertschälchen füllen und abgedeckt für mindestens 1 Stunde kalt stellen. VOLL IM GESCHMACK Die Dinkel-Spaghetti von EDEKA bestehen zu 100 % aus Dinkelmehl, das aus in Deutschland angebautem Getreide stammt. Sie passen super zu unserem Avocadosaucen-Rezept. …………..5 BIBIMBAP mit Bohnen und Rinderhack Zubereitung ca. 45 Minuten 4 Portionen · 500 g Möhren • 400 g grüne Bohnen · 250 g Steinchampignons · '/2 Bund Lauchzwiebeln • Salz, Pfeffer · 200 g GUT&GÜNSTIG Basmatireis · 40 g EDEKA Cashewkerne • 1 Bund Koriander • 1 Bund glatte Petersilie · 300 g EDEKA Bio Joghurt pur · 3 EL Cashewmus • 3 EL Öl • 400 g Rin¬derhack • 4 Eier • 125 g Kimchi 1 Möhren schälen, waschen und grob raspeln. Die Bohnen putzen, mit kaltem Wasser abwaschen und halbieren. Die Pilze putzen, halbieren oder vierteln. Danach die Lauchzwiebeln putzen, waschen und in Ringe schneiden. Alles zur Seite stellen. 2 In einem Topf 2-3 Liter Salzwasser (1 TL Salz pro Liter) zum Kochen bringen und den Reis darin aufkochen, nach Packungsbeilage garen, abgießen und warm halten. Die Cashewkerne klein hacken und die Kräuter waschen, trocken schütteln und grob hacken. Den Joghurt mit dem Cashewmus verrühren und mit Salz abschmecken. 3 Dann 1 EL Öl in einer Pfanne erhitzen und das Hack darin anbraten. Mit Salz und Pfeffer würzen. Während das Hack anbrät, Bohnen in kochendem Salzwasser 10-12 Minuten garen. Bohnen abgießen und kalt abschrecken. Die Cashewkerne in einer beschichteten Pfanne rösten und herausnehmen. 4 In einer Pfanne 1 EL Öl erhitzen, Spiegeleier darin anbraten und mit Salz würzen. Die Eier wenden, kurz weiterbra-ten, herausnehmen und in Streifen schneiden. Einen weiteren Esslöffel Öl in der Pfanne erhitzen und Pilze darin goldbraun anbraten. 5 Reis, Hack, Pilze, Möhren, Kimchi, Bohnen, Lauchzwiebeln und Eier in den Bowls anrichten. Mit Sauce garnieren und mit Kräutern, Cashewkernen und Sesam bestreut servieren. Pro Portion: ca. 790 kcal, 46gE,41gF,57gKH ……6 · 200 g EDEKA Kalifornische Mandeln (gemahlen) · 100 g EDEKA Kokosraspel · 100 g Heidelbeeren · 40 g Kokosöl · 40 g EDEKA Bio Agavendicksaft · 200 g Edel-Zartbitterschokolade 1 Die Mandeln, die Kokosraspel und die Heidelbeeren in eine Küchenma¬schine oder einen Universalzerkleine-rer geben und klein hacken. 2 Das Kokosöl in einem kleinen Topf bei schwacher Hitze schmelzen und zu der Kokos-Mandel-Heidelbeer-Mischung geben. Den Agavendicksaft hinzufügen und das Ganze gut verrühren. Die Kokosmasse für 15 Minuten ins Tiefkühlfach stellen und durchkühlen. …..7 Die Bananen schälen und halbieren. Zusammen mit dem Mandeldrink, dem Kakaopulver und den Chia-Samen im Mixer fein pürieren. Nach Bedarf mit Agavendicksaft nachsüßen

Kochen 5.2.2018 mit Fernsehkoch Selzer-McKenzie

Youtube: https://youtu.be/j21hOXeUUKw

Avocado-Nuss-Salat mit Mango

Zubereitung ca. 30 Minuten 4 Portionen

·           80 g Haselnüsse • 1 Knoblauchzehe

·           20 g Ingwer • 1/2 rote Chilischote

·           6 EL Sojasauce • 1 EL Rohrzucker

·           5 EL Limettensaft • 4 EL Sonnenblu¬menöl • 1 kleine Salatgurke

·           2 Lauchzwiebeln • 1 Mango • 2 genuss¬reife Avocados • 1 kleiner Eisbergsalat

·           1 Handvoll Korianderblätter

·           1/2 Handvoll Minzblätter

1 Haselnüsse fein hacken. In einer Pfanne ohne Fett rösten, abkühlen lassen. Knoblauch und Ingwer schälen. Aus der Chilischote die Kerne heraus-kratzen. Knoblauch, Ingwer und Chili zusammen fein hacken, mit Sojasauce, Rohrzucker, Limettensaft und 2 EL Was-ser in einen Topf geben. Unter Rühren langsam erwärmen, bis der Zucker sich aufgelöst hat. Sonnenblumenöl unter-rühren. Abkühlen lassen.

2 Gurke längs in dünne Streifen hobeln. Lauchzwiebeln putzen und in feine Ringe schneiden. Mango schälen, das Fruchtfleisch vom Stein lösen und in feine Streifen schneiden. Avocados halbieren, Kern entfernen und Frucht-fleisch mit dem Löffel aus den Schalen lösen. Hälften jeweils noch einmal hal-bieren und in die Haselnüsse drücken.

3 Eisbergsalat in feine Streifen schnei-den. Mit Mango, Lauchzwiebeln, Kräu-tern, Gurke und der Marinade mischen. Auf Tellern anrichten. Je 2 Avocadovier-tel auf jeden Salat setzen.

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Spaghetti

mit Avocadosauce

Zubereitung ca. 25 Minuten 4 Portionen

·           60 g Kabanossi • 2 Knoblauchzehen

·           1 Handvoll Basilikumblätter

·           2 reife Avocados • 4 EL Zitronensaft

·           6 EL Olivenöl • Salz, Pfeffer

·           400 g Spaghetti • 180 g Fetakäse

·           8o g EDEKA Antipasti Kalamata Oliven

1 Kabanossi fein würfeln. Knoblauch schälen. Eine Knoblauchzehe in dünne Scheiben schneiden und mit 8 schönen Basilikumblättern zur Seite legen. Avocados halbieren, den Stein entfernen und das Fruchtfleisch aus der Schale lösen. Avocado mit restlichem Basilikum, Zitronensaft, 2 EL Olivenöl und der übrigen Knoblauchzehe fein pürieren. Mit Salz und Pfeffer würzen.

2 Pasta nach Packungsanleitung al dente kochen. Inzwischen restliches Öl in einer kleinen Pfanne erhitzen. Kabanossi und Knoblauch darin braten, bis der Knoblauch goldbraun ist Pfanne vom Herd nehmen. Kurz vor Garzeitende 4 EL Pastawasser abnehmen und unter die Avocadosauce rühren. Fetakäse in Scheiben schneiden. Pasta abseihen und gut abtropfen lassen. Mit der Sauce mischen. In Pastaschalen anrichten. Knoblauchöl mit Wurst darübergeben. Fetakäse und Oliven darauf verteilen. Mit den zurückgelegten Basilikumblättern garnieren.

……..3

Couscous-Taler mit Avocado-Kichererbsen-Creme

Zubereitung ca. 45 Minuten 4 Portionen

·           250 g Couscous • 250 ml Gemüsebrü¬he • 1/2 TL Kurkuma, gemahlen

((.• 700 g Weißkohl) • Salz, Pfeffer

·           2 EL Sesam • 3 Knoblauchzehen

·           240 g EDEKA Kichererbsen (Dose)

·           2 genussreife Avocados

·           10 EL Zitronensaft

·           1 Prise Paprikapulver (rosenscharf)

·           3o g getrocknete Cranberries

·           1/2 rote Zwiebel • 2 Eier (Gr. M)

·           1 EL Zucker • 4 EL Olivenöl

\‘,2 Bund Dill • 2 EL Sonnenblumenöl g

1 Couscous mit Brühe und Kurkuma nach Packungsanleitung garen und ab-kühlen lassen. Für den Salat Kohlkopf vierteln, Strunk herausschneiden und den Rest in feine Streifen hobeln. 700 g abwiegen. Kohl mit 1 TL Salz mischen. Mit den Händen ca. 3 Minuten kräftig durchkneten und ca. 10 Minuten ziehen lassen.

2 Inzwischen den Sesam in einer Pfan-ne ohne Fett rösten. Auf einem Teller abkühlen lassen. Knoblauchzehen schä¬len. Kichererbsen kalt abspülen und abtropfen lassen. Avocados halbieren, Steine entfernen und das Fruchtfleisch herauslösen. 11/2 Avocados mit 2 Knob¬lauchzehen, Kichererbsen und 6 EL Zitronensaft fein pürieren. Mit Salz und Paprikapulver würzen. Kalt stellen.

3 Cranberries grob hacken. Zwiebel schälen und würfeln. Zwiebel und Cran-berries mit den Eiern unter den Cous-cous mischen. 1/3 der Masse abnehmen, mit einem Pürierstab fein mixen wieder unter den restlichen Couscous mischen. Mit Salz und Pfeffer würzen. Zu 12 Talern formen. Restliches Avoca¬dofleisch in dünne Streifen schneiden. Mit 1 EL Zitronensaft mischen.

4 Die Flüssigkeit des Kohls abgießen. Kohl mit Zucker, 3 EL Zitronensaft und

4 EL Olivenöl mischen. Mit Salz und Pfeffer würzen. Dill grob hacken. Son-nenblumenöl in einer großen Pfanne erhitzen. Taler darin bei mittlerer Hitze von jeder Seite ca. 5 Minuten goldbraun braten.

5 Währenddessen die Avocadocreme auf 4 Teller streichen. Avocadostreifen am Tellerrand anrichten. Taler auf Kü-chenpapier abtropfen lassen und auf die Avocadocreme setzen. Mit Krautsalat anrichten und mit Sesam und Dill be-streuen. Restlichen Salat dazu servieren.

Pro Portion: ca. 895 kcal,

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Avocado-

Schokoladen-Pudding mit Karamellsauce

Zubereitung ca. 30 Minuten +1 Stunde Kühlzeit

4 Portionen

Für die Karamellsauce:

·           so g Butter • 100 g Zucker

·           6 EL Sahne • 2 EL Zitronensaft

·           1/2 Vanilleschote Für den Pudding:

·           1/2 Vanilleschote • 3 genussreife Avocados • 130 ml Milch • 70 g cremige Erdnussbutter • 15 g Backkakao

·           so g Zucker • 60 g GUT&GÜNSTIG Erdnüsse geröstet und gesalzen

·           120 ml Sahne

1 Für die Karamellsauce alle Zutaten bereitstellen. Butter in kleine Stücke würfeln. Eine große Pfanne erhitzen und die Hälfte des Zuckers einstreuen, sodass der Boden bedeckt ist. Sobald er flüssig wird, den restlichen Zucker darüberstreuen und schmelzen lassen. Nicht rühren, damit keine Klümpchen entstehen. Butter nach und nach mit einem Holzlöffel einrühren. Sahne und Zitronensaft dazugeben, unter Rühren aufkochen und 30 Sekunden kochen lassen. Von der Herdplatte nehmen. Vanilleschote längs aufschlitzen, Mark herauskratzen und die Hälfte davon in die Sauce rühren. Bei Zimmertemperatur abkühlen lassen.

2 Für den Pudding den Rest vom Vanillemark beiseitestellen. Avocados halbieren, entsteinen und das Fruchtfleisch mit einem Esslöffel aus den Schalen lösen. Fruchtfleisch mit Vanillemark, Milch, Erdnussbutter, Kakao und Zucker fein pürieren. In 4 Dessertschälchen füllen und abgedeckt für mindestens 1 Stunde kalt stellen.

VOLL IM GESCHMACK

Die Dinkel-Spaghetti von EDEKA bestehen zu 100 % aus Dinkelmehl, das aus in Deutschland angebautem Getreide stammt. Sie passen super zu unserem Avocadosaucen-Rezept.

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BIBIMBAP

mit Bohnen und Rinderhack

Zubereitung ca. 45 Minuten 4 Portionen

·           500 g Möhren • 400 g grüne Bohnen

·           250 g Steinchampignons

·           '/2 Bund Lauchzwiebeln • Salz, Pfeffer

·           200 g GUT&GÜNSTIG Basmatireis

·           40 g EDEKA Cashewkerne • 1 Bund Koriander • 1 Bund glatte Petersilie

·           300 g EDEKA Bio Joghurt pur

·           3 EL Cashewmus • 3 EL Öl • 400 g Rin¬derhack • 4 Eier • 125 g Kimchi

1 Möhren schälen, waschen und grob raspeln. Die Bohnen putzen, mit kaltem Wasser abwaschen und halbieren. Die Pilze putzen, halbieren oder vierteln. Danach die Lauchzwiebeln putzen, waschen und in Ringe schneiden. Alles zur Seite stellen.

2 In einem Topf 2-3 Liter Salzwasser (1 TL Salz pro Liter) zum Kochen bringen und den Reis darin aufkochen, nach Packungsbeilage garen, abgießen und warm halten. Die Cashewkerne klein hacken und die Kräuter waschen, trocken schütteln und grob hacken. Den Joghurt mit dem Cashewmus verrühren und mit Salz abschmecken.

3 Dann 1 EL Öl in einer Pfanne erhitzen und das Hack darin anbraten. Mit Salz und Pfeffer würzen. Während das Hack anbrät, Bohnen in kochendem Salzwasser 10-12 Minuten garen. Bohnen abgießen und kalt abschrecken. Die Cashewkerne in einer beschichteten Pfanne rösten und herausnehmen.

4 In einer Pfanne 1 EL Öl erhitzen, Spiegeleier darin anbraten und mit Salz würzen. Die Eier wenden, kurz weiterbra-ten, herausnehmen und in Streifen schneiden. Einen weiteren Esslöffel Öl in der Pfanne erhitzen und Pilze darin goldbraun anbraten.

5 Reis, Hack, Pilze, Möhren, Kimchi, Bohnen, Lauchzwiebeln und Eier in den Bowls anrichten. Mit Sauce garnieren und mit Kräutern, Cashewkernen und Sesam bestreut servieren.

Pro Portion: ca. 790 kcal, 46gE,41gF,57gKH

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·           200 g EDEKA Kalifornische Mandeln (gemahlen)

·           100 g EDEKA Kokosraspel

·           100 g Heidelbeeren

·           40 g Kokosöl

·           40 g EDEKA Bio Agavendicksaft

·           200 g Edel-Zartbitterschokolade

1 Die Mandeln, die Kokosraspel und die Heidelbeeren in eine Küchenma¬schine oder einen Universalzerkleine-rer geben und klein hacken.

2 Das Kokosöl in einem kleinen Topf bei schwacher Hitze schmelzen und zu der Kokos-Mandel-Heidelbeer-Mischung geben. Den Agavendicksaft hinzufügen und das Ganze gut verrühren. Die Kokosmasse für 15 Minuten ins Tiefkühlfach stellen und durchkühlen.

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Die Bananen schälen und halbieren. Zusammen mit dem Mandeldrink, dem Kakaopulver und den Chia-Samen im Mixer fein pürieren. Nach Bedarf mit Agavendicksaft nachsüßen

Wetter am 4.2.2018 in München Film and Sound by D. Selzer-McKenzie Youtube: https://youtu.be/tlN7fbYgFnM

Wetter am 4.2.2018 in München
Film and Sound by D. Selzer-McKenzie
Youtube: https://youtu.be/tlN7fbYgFnM

Neuronale Netze - Künstliche Intelligenz Youtube: https://youtu.be/VEfV1abmqpU Die Künstliche Intelligenz (Author Dr. D. Selzer-McKenzie) Bei einem künstlichen neuronalen Netzwerk (gewöhnlich kurz neuronales Netzwerk genannt) handelt es sich um eine sich an biologischen Neuronen und Synapsen orientierende Abstraktion. Obwohl neuronale Netzwerke bereits seit Jahrzehnten erforscht werden, sind meines Erachtens viele Implementierungen neuronalen Netzwerkcodes allgemein nicht sehr gut erklärt. Ich erläutere, was künstliche neuronale Netzwerke sind, außerdem werde ich C#-Code für die Implementierung eines neuronalen Netzwerks vorstellen. Um einen besseren Eindruck davon zu bekommen, können Sie sich die beiden Abbildungen nachstehend ansehen. Sie können sich neuronale Netzwerke als numerische Eingabe-Ausgabemechanismen vorstellen. Das neuronale Netzwerk in erster Abbildung umfasst drei Eingaben x0, x1 und x2 mit den jeweiligen Werten 1.0, 2.0 und 3.0. Das neuronale Netzwerk beinhaltet zwei Ausgaben y0 und y1 mit den Werten 0.72 bzw. -0.88. In dem der ersten Abbildung dargestellten neuronalen Netzwerk gibt es eine Schicht sogenannter verdeckter Neuronen. Dieses Netzwerk kann als dreischichtiges, vollständig verbundenes Feedforward-Netzwerk mit drei Eingaben, zwei Ausgaben und vier verdeckten Neuronen beschrieben werden. Leider gibt es keine einheitliche Terminologie zu neuronalen Netzwerken. Die zweite Abbildung zeigt die Ausgabe des vorgestellten Demoprogramms. In dem neuronalen Netzwerk wird sowohl eine sigmoide Aktivierungsfunktion als auch eine Tanh-Aktivierungsfunktion verwendet. Diese Funktionen sind durch die beiden Gleichungen mit den griechischen Buchstaben phi in erster Abbildung angedeutet. Die Ausgaben eines neuronalen Netzwerks hängen von den Werten einer Reihe numerischer Gewichtungen und Biase ab. In diesem Beispiel gibt es insgesamt 26 Gewichtungen und Biase mit den Werten 0.10, 0.20 ... -5.00. Nachdem die Gewichtungs- und Biaswerte in das neuronale Netzwerk geladen wurden, lädt das Demoprogramm die drei Eingabewerte (1.0, 2.0, 3.0) und führt dann entsprechend den Nachrichten zu den Summen Eingabe-zu-Verdeckt und Verdeckt-zu-Ausgabe eine Reihe von Berechnungen durch. Zum Schluss zeigt das Demoprogramm die beiden Ausgabewerte an (0.72, -0.88). Ich werde Sie schrittweise durch das Programm führen, das die in der zweiten Abbildung gezeigte Ausgabe generiert hat. Hier werden gewisse Programmierkenntnisse vorausgesetzt, es wird jedoch nicht davon ausgegangen, dass Sie sich mit neuronalen Netzwerken auskennen. Das Demoprogramm ist in der Programmiersprache C# codiert, es sollte jedoch problemlos möglich sein, den Democode in einer anderen Sprache wie z. B. Visual Basic .NET oder Python umzugestalten. Bei dem vorgestellten Programm handelt es sich im Wesentlichen um ein Lernprogramm und eine Plattform zum eigenen Experimentieren. Praktische Probleme lassen sich mit diesem Programm nicht direkt lösen, ich werde Ihnen daher erläutern, wie Sie den Code erweitern können, um wichtige Probleme zu beheben. Sie werden hier sicher sehr interessante Informationen finden, und vielleicht können Sie mit den hier beschriebenen Programmiertechniken Ihre Coding-Fähigkeiten ausbauen. Aufbau eines Modells eines neuronalen Netzwerks Künstliche neuronale Netzwerke sind auf dem Verhalten biologischer neuronaler Netzwerke basierend aufgebaut. Die Kreise in der ersten stellen Neuronen dar, in denen eine Verarbeitung erfolgt, und die Pfeile stehen für den Informationsfluss sowie für numerische Werte, die sogenannten Gewichtungen. In vielen Situationen werden Eingabewerte direkt in Eingabeneuronen kopiert, ohne dass eine Gewichtung erfolgt, und sie werden auch direkt ohne jegliche Verarbeitung ausgegeben. Die erste tatsächliche Aktion erfolgt somit in den Neuronen der verdeckten Schicht. Nehmen wir an, dass die Eingabewerte 1.0, 2.0 und 3.0 von den Eingabeneuronen ausgegeben werden. In der ersten Abbildung sehen Sie einen Pfeil zur Darstellung eines Gewichtungswerts zwischen jedem der drei Eingabeneuronen und der vier verdeckten Neuronen. Nehmen wir an, die drei abgebildeten Gewichtungspfeile, die auf das oberste verdeckte Neuron zeigen, tragen die Bezeichnungen w00, w10 und w20. Bei dieser Notation stellt der erste Index den Index des Quelleneingabeneurons dar und der zweite Index den Index des verdeckten Zielneurons. Die Neuronenverarbeitung erfolgt in drei Schritten: Im ersten Schritt wird eine gewichtete Summe berechnet. Nehmen wir an, es gilt Folgendes: w00 = 0.1, w10 = 0.5 und w20 = 0.9. Die gewichtete Summe für das oberste verdeckte Neuron lautet wie folgt: (1.0)(0.1) + (2.0)(0.5) + (3.0)(0.9) = 3.8. Im zweiten Verarbeitungsschritt wird ein Biaswert hinzugefügt. Angenommen, der Biaswert beträgt -2.0. Die angepasste gewichtete Summe lautet dann: 3.8 + (-2.0) = 1.8. Im dritten Schritt wird auf die angepasste gewichtete Summe eine Aktivierungsfunktion angewandt. Nehmen wir an, bei der Aktivierungsfunktion handelt es sich um die durch 1.0 / (1.0 * Exp(-x)) definierte Sigmoidfunktion, wobei Exp für die Exponentialfunktion steht. Die Ausgabe des verdeckten Neurons lautet dann 1.0 / (1.0 * Exp(-1.8)) = 0.86. Diese Ausgabe wird nun Teil der gewichteten Summe, die in jedes Neuron der Ausgabeschicht eingegeben wird. In Abbildung 1 ist dieser drei Schritte umfassende Prozess durch die Gleichung mit dem griechischen Buchstaben phi angedeutet: Es werden gewichtete Summen (xw) berechnet, ein Bias (b) wird hinzugefügt, und eine Aktivierungsfunktion (phi) wird angewandt. Nach Berechnung der Werte für alle verdeckten Neuronen werden die Werte für die Neuronen der Ausgabeschicht auf dieselbe Weise berechnet. Für die Berechnung der Werte der Ausgabeneuronen kann dieselbe Aktivierungsfunktion verwendet werden wie bei der Berechnung der Werte der verdeckten Neuronen, es kann aber auch eine andere Aktivierungsfunktion eingesetzt werden. In dem in der zweiten dargestellten Demoprogramm wird als Verdeckt-zu-Ausgabe-Aktivierungsfunktion die hyperbolisch-tangente Funktion verwendet. Nachdem die Werte für alle Neuronen der Ausgabeschicht berechnet wurden, werden diese Werte in den meisten Situationen weder gewichtet noch verarbeitet, sondern einfach als endgültige Ausgabewerte des neuronalen Netzwerks ausgegeben. Interne Struktur Grundlegend für das Verständnis der hier dargestellten Implementierung eines neuronalen Netzes ist eine genaue Betrachtung von der dritten Abbildung. Auf den ersten Blick mag diese Abbildung extrem kompliziert erscheinen. Sie können mir aber glauben, das Ganze ist nicht annähernd so kompliziert, wie es zunächst scheint. In der dritten Abbildung sind insgesamt acht Arrays und zwei Matrizen dargestellt. Der erste Array trägt die Bezeichnung this.inputs. In diesem Array sind die Eingabewerte des neuronalen Netzwerks, in diesem Beispiel 1.0, 2.0 und 3.0 enthalten. Als Nächstes kommt die Gruppe der Gewichtungswerte, mit denen die Werte in der sogenannten verdeckten Schicht berechnet werden. Diese Gewichtungen sind in einer 3 x 4-Matrix mit der Bezeichnung i-h weights (E-V-Gewichtungen) gespeichert. E-V steht dabei für Eingabe-zu-Verdeckt. Beachten Sie in der ersten Abbildung, dass die Demoversion des neuronalen Netzwerks vier verdeckte Neuronen umfasst. Die Zeilenanzahl in der Matrix i-h weights (E-V-Gewichtungen) entspricht der Eingabenanzahl und die Spaltenanzahl der Anzahl verdeckter Neuronen. Die Abbildung vier zeigt die interne SAtruktur des neuronalen Netzes. Das Array mit der Bezeichnung i-h sums (E-V-Summen) ist ein Arbeitsarray für die Berechnung. Die Länge des Arrays i-h sums (E-V-Summen) entspricht immer der Anzahl verdeckter Neuronen (vier in diesem Beispiel). Das nächste Array trägt die Bezeichnung i-h-biases (E-V-Biase). Biase in neuronalen Netzen sind zusätzliche Gewichtungen zur Berechnung der Neuronen in den verdeckten Schichten und Ausgabeschichten. Die Länge des Arrays i-h biases (E-V-Biase) entspricht der Länge des Arrays i-h-sums (E-V-Summen), die wiederum der Anzahl verdeckter Neuronen entspricht. Das Array mit der Bezeichnung i-h outputs (E-V-Ausgaben) stellt ein Zwischenergebnis dar. Die Werte in diesem Array werden als Eingaben für die nächste Schicht verwendet. Die Länge des Arrays i-h sums (E-V-Summe) entspricht der Anzahl verdeckter Neuronen. Als Nächstes kommt eine Matrix mit der Bezeichnung h-o weights (V-A-Gewichtungen). Dabei steht V-A für Verdeckt-zu-Ausgabe. Die Matrix h-o weights (V-A-Gewichtungen) hat hier die Größe 4 x 2, da es vier verdeckte Neuronen und zwei Ausgaben gibt. Die Länge der Arrays h-o sums, h-o biases und this.outputs entspricht der Ausgabenanzahl (zwei in diesem Beispiel). Im Array mit der Bezeichnung weights (Gewichtungen) unten in der dritten Abbildung sind alle Eingabe-zu-Verdeckt- und Verdeckt-zu-Ausgabe-Gewichtungen und -Biase aufgeführt. In diesem Beispiel weist das Gewichtungsarray die folgende Länge auf: (3 * 4) + 4 + (4 * 2) + 2 = 26. Allgemein gilt: Ist Ni die Anzahl der Eingabewerte (number of input values), Nh die Anzahl verdeckter Neuronen (number of hidden neurons) und No die Anzahl der Ausgaben (number of outputs), lautet die Länge des Gewichtungsarrays wie folgt: Nw = (Ni * Nh) + Nh + (Nh * No) + No. Berechnung der Ausgaben Nachdem die im vorherigen Abschnitt beschriebenen acht Arrays und zwei Matrizen erstellt wurden, kann ein neuronales Netz anhand der Eingaben, Gewichtungen und Biase die Ausgabe berechnen. Im ersten Schritt werden die Eingabewerte in das Array this.inputskopiert. Im nächsten Schritt werden dem Gewichtungsarray Werte zugewiesen. Für die Demo können Sie beliebige Gewichtungswerte verwenden. Als Nächstes werden die Werte aus dem Gewichtungsarray in die Matrix i-h-weights (E-V-Gewichtungen), das Array i-h-biases (E-V-Biase), die Matrix h-o-weights (V-A-Gewichtungen) und das Array h-o-biases (V-A-Biase) kopiert. Diese Beziehung soll in der dritten Abbildung veranschaulicht werden. Die Werte im Array i-h sums (E-V-Summen) werden in zwei Schritten berechnet. Im ersten Schritt werden die gewichteten Summen berechnet. Zu diesem Zweck werden die Werte im Eingabearray (inputs) mit den Werten in der entsprechenden Spalte der Matrix i-h weights (E-V-Gewichtungen) multipliziert. So werden beispielsweise für die gewichtete Summe für das verdeckte Neuron [3] (bei dem ich eine nullbasierte Indexierung verwende) jeder Eingabewert und die Werte in Spalte [3] der Matrix i-h weights (E-V-Gewichtungen) verwendet: (1.0)(0.4) + (2.0)(0.8) + (3.0)(1.2) = 5.6. Im zweiten Schritt bei der Berechnung von E-V-Summenwerten wird dm aktuellen E-V-Summenwert jeder einzelne Biaswert hinzugefügt. Ein Beispiel: Da i-h biases (E-V-Biase) [3] den Wert -7.0 hat, lautet der Wert von i-h sums (E-V-Summen) [3] 5.6 + (-7.0) = -1.4. Nachdem alle Werte im Array i-h sums (E-V-Summen) berechnet wurden, wird die Eingabe-zu-Verdeckt-Aktivierungsfunktion auf die Summen angewandt. Daraus ergeben sich die Eingabe-zu-Verdeckt-Ausgabewerte. Es gibt viele mögliche Aktivierungsfunktionen. Die einfachste Aktivierungsfunktion wird als Schrittfunktion bezeichnet. Bei dieser Funktion wird einfach für jeden Eingabewert größer Null 1.0 und für jeden Eingabewert kleiner oder gleich Null 0.0 zurückgegeben. Eine andere häufig eingesetzte Aktivierungsfunktion, die auch in diesem Artikel verwendet wird, ist die Sigmoidfunktion. Diese ist wie folgt definiert: f(x) = 1.0 / (1.0 * Exp(-x)). Die Kurve der Sigmoidfunktion ist in Abbildung 4 dargestellt. Die Sigmoidfunktion Beachten Sie, dass die Sigmoidfunktion einen Wert im Bereich größer Null und kleiner Eins zurückgibt. In unserem Beispiel gilt Folgendes: Wenn der Wert für i-h sums(E-V-Summen) [3] nach Hinzufügen des Biaswerts -1.4 lautet, erhält i-h outputs (E-V-Ausgaben) [3] den Wert 1.0 / (1.0 * Exp(-(-1.4))) = 0.20. Nachdem alle Eingabe-zu-Verdeckt-Ausgabeneuronenwerte berechnet wurden, werden diese Werte als Eingaben für die Berechnung der Neuronen der Verdeckt-zu-Ausgabe-Schicht verwendet. Diese Berechnungen funktionieren wie die Eingabe-zu-Verdeckt-Berechnungen: Es werden vorab gewichtete Summen berechnet, Biase hinzugefügt und anschließend wird eine Aktivierungsfunktion angewandt. In diesem Beispiel verwende ich eine hyperbolische Tangentenfunktion, kurz Tanh-Funktion genannt, für die Verdeckt-zu-Ausgabe-Aktivierungsfunktion. Die Tanh-Funktion ist der Sigmoidfunktion sehr ähnlich. Die Kurve der Tanh-Funktion weist eine ähnliche S-Form wie die Kurve der Sigmoidfunktion auf, die Tanh-Funktion gibt jedoch einen Wert im Bereich (-1,1) und nicht im Bereich (0,1) zurück. Kombinieren von Gewichtungen und Biasen Keine der Implementierungen neuronaler Netzwerke, die ich im Internet gesehen habe, wahrt getrennte Gewichtungs- und Biasarrays. Stattdessen werden die Gewichtungen und Biase in der Gewichtungsmatrix kombiniert. Wie ist dies möglich? Denken Sie daran, dass die Berechnung des Werts des Eingabe-zu-Verdeckt-Neurons [3] (i0 * w03) + (i1 * w13) + (i2 * w23) + b3 entsprach, wobei i0 den Eingabewert [0] hat, w03 die Gewichtung für die Eingabe [0] und Neuron [3] und b3 der Biaswert für das Verdeckt-Neuron [3] ist. Wenn Sie eine zusätzliche, gefälschte Eingabe [4] mit einem Platzhalterwert von 1,0 und eine zusätzliche Gewichtungszeile für die Biaswerte erstellen, ändert sich die zuvor beschriebene Berechnung folgendermaßen: (i0 * w03) + (i1 * w13) + (i2 * w23) + (i3 * w33), wobei i3 der Platzhaltereingabewert 1.0 und w33 der Bias ist. Das Argument für diesen Ansatz besteht darin, dass dieser das neuronale Netzwerkmodell vereinfacht. Ich bin anderer Meinung. Meiner Meinung nach ist ein neuronales Netzwerkmodell durch die Kombination von Gewichtungen und Biasen schwieriger zu verstehen, und die Implementierung ist fehleranfälliger. Anscheinend bin ich jedoch der einzige, der diese Meinung vertritt. Sie sollten daher Ihre eigene Entwurfsentscheidung treffen. Implementierung Ich habe das in den Abbildungen 1, 2 und 3 gezeigte neuronale Netzwerk mittels Visual Studio implementiert. Ich habe eine C#-Konsolenanwendunge namens NeuralNetworks erstellt. Im Projektmappen-Explorer-Fenster habe ich mit der rechten Maustaste auf die Datei Program.cs geklickt und diese zu NeuralNetworksProgram.cs umbenannt. Dadurch wurde auch der vorlagengenerierte Klassenname zu NeuralNetworksProgram geändert.

Neuronale Netze - Künstliche Intelligenz
Youtube: https://youtu.be/VEfV1abmqpU
Die Künstliche Intelligenz  (Author Dr. D. Selzer-McKenzie)
Bei einem künstlichen neuronalen Netzwerk
(gewöhnlich kurz neuronales Netzwerk genannt) handelt es sich
um eine sich an biologischen Neuronen und Synapsen orientierende
Abstraktion. Obwohl neuronale Netzwerke bereits seit Jahrzehnten
erforscht werden, sind meines Erachtens viele Implementierungen
neuronalen Netzwerkcodes allgemein nicht sehr gut erklärt.
Ich erläutere, was künstliche neuronale Netzwerke sind, außerdem
werde ich C#-Code für die Implementierung eines
neuronalen Netzwerks vorstellen.
Um einen besseren Eindruck davon zu bekommen,  können Sie
sich die beiden Abbildungen nachstehend  ansehen. Sie können
sich neuronale Netzwerke als numerische Eingabe-Ausgabemechanismen
vorstellen. Das neuronale Netzwerk in erster Abbildung umfasst
drei Eingaben x0, x1 und x2 mit den jeweiligen
Werten 1.0, 2.0 und 3.0. Das neuronale Netzwerk beinhaltet
zwei Ausgaben y0 und y1 mit den Werten 0.72 bzw. -0.88.
In dem der ersten Abbildung dargestellten neuronalen Netzwerk
gibt es eine Schicht sogenannter verdeckter Neuronen.
Dieses Netzwerk kann als dreischichtiges, vollständig
verbundenes Feedforward-Netzwerk mit drei Eingaben,
zwei Ausgaben und vier verdeckten Neuronen beschrieben
werden. Leider gibt es keine einheitliche Terminologie
zu neuronalen Netzwerken.
Die zweite Abbildung zeigt die Ausgabe des  vorgestellten Demoprogramms.
In dem neuronalen Netzwerk wird sowohl eine sigmoide Aktivierungsfunktion
als auch eine Tanh-Aktivierungsfunktion verwendet. Diese Funktionen
sind durch die beiden Gleichungen mit den griechischen
Buchstaben phi in erster Abbildung angedeutet. Die Ausgaben eines
neuronalen Netzwerks hängen von den Werten einer Reihe
numerischer Gewichtungen und Biase ab. In diesem Beispiel gibt
es insgesamt 26 Gewichtungen und Biase mit den
Werten 0.10, 0.20 ... -5.00. Nachdem die Gewichtungs- und Biaswerte
in das neuronale Netzwerk geladen wurden, lädt das Demoprogramm
die drei Eingabewerte (1.0, 2.0, 3.0) und führt dann entsprechend
den Nachrichten zu den Summen Eingabe-zu-Verdeckt und Verdeckt-zu-Ausgabe
eine Reihe von Berechnungen durch. Zum Schluss zeigt das
Demoprogramm die beiden Ausgabewerte an (0.72, -0.88).
Ich werde Sie schrittweise durch das Programm führen,
das die in der zweiten Abbildung gezeigte Ausgabe generiert hat.
Hier werden gewisse Programmierkenntnisse vorausgesetzt, es
wird jedoch nicht davon ausgegangen, dass Sie sich mit neuronalen
Netzwerken auskennen. Das Demoprogramm ist in der
Programmiersprache C# codiert, es sollte jedoch problemlos
möglich sein, den Democode in einer anderen Sprache wie z. B. Visual Basic .NET
oder Python umzugestalten. Bei dem  vorgestellten Programm handelt
es sich im Wesentlichen um ein Lernprogramm und eine Plattform
zum eigenen Experimentieren. Praktische Probleme lassen sich mit
diesem Programm nicht direkt lösen, ich werde Ihnen daher
erläutern, wie Sie den Code erweitern können, um wichtige Probleme
zu beheben. Sie werden hier sicher sehr interessante Informationen
finden, und vielleicht können Sie mit den hier beschriebenen
Programmiertechniken Ihre Coding-Fähigkeiten ausbauen.
Aufbau eines Modells eines neuronalen Netzwerks
Künstliche neuronale Netzwerke sind auf dem Verhalten biologischer
neuronaler Netzwerke basierend aufgebaut. Die Kreise in der
ersten stellen Neuronen dar, in denen eine Verarbeitung erfolgt,
und die Pfeile stehen für den Informationsfluss sowie für
numerische Werte, die sogenannten Gewichtungen. In vielen Situationen
werden Eingabewerte direkt in Eingabeneuronen kopiert, ohne dass
eine Gewichtung erfolgt, und sie werden auch direkt ohne jegliche
Verarbeitung ausgegeben. Die erste tatsächliche Aktion erfolgt
somit in den Neuronen der verdeckten Schicht. Nehmen wir an,
dass die Eingabewerte 1.0, 2.0 und 3.0 von den Eingabeneuronen ausgegeben
werden. In der ersten Abbildung sehen Sie einen Pfeil zur Darstellung
eines Gewichtungswerts zwischen jedem der drei Eingabeneuronen und
der vier verdeckten Neuronen. Nehmen wir an, die drei abgebildeten
Gewichtungspfeile, die auf das oberste verdeckte Neuron zeigen,
tragen die Bezeichnungen w00, w10 und w20. Bei dieser Notation
stellt der erste Index den Index des Quelleneingabeneurons dar
und der zweite Index den Index des verdeckten Zielneurons.
Die Neuronenverarbeitung erfolgt in drei Schritten: Im ersten Schritt
wird eine gewichtete Summe berechnet. Nehmen wir an, es
gilt Folgendes: w00 = 0.1, w10 = 0.5 und w20 = 0.9. Die gewichtete
Summe für das oberste verdeckte Neuron lautet
wie folgt: (1.0)(0.1) + (2.0)(0.5) + (3.0)(0.9) = 3.8. Im zweiten
Verarbeitungsschritt wird ein Biaswert hinzugefügt. Angenommen, der
Biaswert beträgt -2.0. Die angepasste gewichtete Summe
lautet dann: 3.8 + (-2.0) = 1.8. Im dritten Schritt wird auf die
angepasste gewichtete Summe eine Aktivierungsfunktion angewandt. Nehmen
wir an, bei der Aktivierungsfunktion handelt es sich um
die durch 1.0 / (1.0 * Exp(-x)) definierte Sigmoidfunktion, wobei Exp für
die Exponentialfunktion steht. Die Ausgabe des verdeckten Neurons
lautet dann 1.0 / (1.0 * Exp(-1.8)) = 0.86. Diese Ausgabe wird nun Teil
der gewichteten Summe, die in jedes Neuron der Ausgabeschicht
eingegeben wird. In Abbildung 1 ist dieser drei Schritte umfassende
Prozess durch die Gleichung mit dem griechischen Buchstaben phi angedeutet:
Es werden gewichtete Summen (xw) berechnet, ein Bias (b) wird hinzugefügt,
und eine Aktivierungsfunktion (phi) wird angewandt.
Nach Berechnung der Werte für alle verdeckten Neuronen werden die Werte
für die Neuronen der Ausgabeschicht auf dieselbe Weise berechnet. Für die
Berechnung der Werte der Ausgabeneuronen kann dieselbe Aktivierungsfunktion
verwendet werden wie bei der Berechnung der Werte der verdeckten Neuronen,
es kann aber auch eine andere Aktivierungsfunktion eingesetzt werden.
In dem in der zweiten  dargestellten Demoprogramm wird als
Verdeckt-zu-Ausgabe-Aktivierungsfunktion die hyperbolisch-tangente
Funktion verwendet. Nachdem die Werte für alle Neuronen der Ausgabeschicht
berechnet wurden, werden diese Werte in den meisten Situationen weder
gewichtet noch verarbeitet, sondern einfach als endgültige Ausgabewerte
des neuronalen Netzwerks ausgegeben.
Interne Struktur
Grundlegend für das Verständnis der hier dargestellten Implementierung
eines neuronalen Netzes ist eine genaue Betrachtung von der dritten Abbildung.
Auf den ersten Blick mag diese Abbildung extrem kompliziert erscheinen.
Sie können mir aber glauben, das Ganze ist nicht annähernd so kompliziert,
wie es zunächst scheint. In der dritten Abbildung sind insgesamt acht
Arrays und zwei Matrizen dargestellt. Der erste Array trägt
die Bezeichnung this.inputs. In diesem Array sind die Eingabewerte
des neuronalen Netzwerks, in diesem Beispiel 1.0, 2.0 und 3.0 enthalten.
Als Nächstes kommt die Gruppe der Gewichtungswerte, mit denen die Werte
in der sogenannten verdeckten Schicht berechnet werden. Diese
Gewichtungen sind in einer 3 x 4-Matrix mit der
Bezeichnung i-h weights (E-V-Gewichtungen) gespeichert.
E-V steht dabei für Eingabe-zu-Verdeckt. Beachten Sie in der
ersten Abbildung, dass die Demoversion des neuronalen Netzwerks
vier verdeckte Neuronen umfasst. Die Zeilenanzahl in der
Matrix i-h weights (E-V-Gewichtungen) entspricht der Eingabenanzahl
und die Spaltenanzahl der Anzahl verdeckter Neuronen.
Die Abbildung vier zeigt die interne SAtruktur des neuronalen Netzes.
Das Array mit der Bezeichnung i-h sums (E-V-Summen) ist ein Arbeitsarray
für die Berechnung. Die Länge des Arrays i-h sums (E-V-Summen)
entspricht immer der Anzahl verdeckter Neuronen (vier in diesem Beispiel).
Das nächste Array trägt die Bezeichnung i-h-biases (E-V-Biase).
Biase in neuronalen Netzen sind zusätzliche Gewichtungen zur Berechnung der
Neuronen in den verdeckten Schichten und Ausgabeschichten. Die Länge des
Arrays i-h biases (E-V-Biase) entspricht der Länge des
Arrays i-h-sums (E-V-Summen), die wiederum der Anzahl
verdeckter Neuronen entspricht.
Das Array mit der Bezeichnung i-h outputs (E-V-Ausgaben) stellt
ein Zwischenergebnis dar. Die Werte in diesem Array werden als Eingaben
für die nächste Schicht verwendet. Die Länge des Arrays i-h sums (E-V-Summe)
entspricht der Anzahl verdeckter Neuronen.
Als Nächstes kommt eine Matrix mit der Bezeichnung h-o weights (V-A-Gewichtungen).
Dabei steht V-A für Verdeckt-zu-Ausgabe. Die Matrix h-o weights (V-A-Gewichtungen)
hat hier die Größe 4 x 2, da es vier verdeckte Neuronen und zwei Ausgaben gibt.
Die Länge der Arrays h-o sums, h-o biases und this.outputs entspricht der
Ausgabenanzahl (zwei in diesem Beispiel).
Im Array mit der Bezeichnung weights (Gewichtungen) unten in der dritten
Abbildung sind alle Eingabe-zu-Verdeckt- und Verdeckt-zu-Ausgabe-Gewichtungen
und -Biase aufgeführt. In diesem Beispiel weist das Gewichtungsarray die
folgende Länge auf: (3 * 4) + 4 + (4 * 2) + 2 = 26. Allgemein gilt:
Ist Ni die Anzahl der Eingabewerte (number of input values), Nh die Anzahl
verdeckter Neuronen (number of hidden neurons) und No die Anzahl der
Ausgaben (number of outputs), lautet die Länge des Gewichtungsarrays
wie folgt: Nw = (Ni * Nh) + Nh + (Nh * No) + No.
Berechnung der Ausgaben
Nachdem die im vorherigen Abschnitt beschriebenen acht Arrays und zwei
Matrizen erstellt wurden, kann ein neuronales Netz anhand der Eingaben,
Gewichtungen und Biase die Ausgabe berechnen. Im ersten Schritt werden die
Eingabewerte in das Array this.inputskopiert. Im nächsten Schritt werden dem
Gewichtungsarray Werte zugewiesen. Für die Demo können Sie beliebige Gewichtungswerte
verwenden. Als Nächstes werden die Werte aus dem Gewichtungsarray in die
Matrix i-h-weights (E-V-Gewichtungen), das Array i-h-biases (E-V-Biase),
die Matrix h-o-weights (V-A-Gewichtungen) und das Array h-o-biases (V-A-Biase) kopiert.
Diese Beziehung soll in der dritten Abbildung veranschaulicht werden.
Die Werte im Array i-h sums (E-V-Summen) werden in zwei Schritten berechnet.
Im ersten Schritt werden die gewichteten Summen berechnet. Zu diesem Zweck
werden die Werte im Eingabearray (inputs) mit den Werten in der entsprechenden
Spalte der Matrix i-h weights (E-V-Gewichtungen) multipliziert. So werden
beispielsweise für die gewichtete Summe für das verdeckte Neuron [3]
(bei dem ich eine nullbasierte Indexierung verwende) jeder Eingabewert und die
Werte in Spalte [3] der Matrix i-h weights (E-V-Gewichtungen)
verwendet: (1.0)(0.4) + (2.0)(0.8) + (3.0)(1.2) = 5.6. Im zweiten Schritt
bei der Berechnung von E-V-Summenwerten wird dm aktuellen E-V-Summenwert
jeder einzelne Biaswert hinzugefügt. Ein Beispiel:
Da i-h biases (E-V-Biase) [3] den Wert -7.0 hat, lautet der Wert
von i-h sums (E-V-Summen) [3] 5.6 + (-7.0) = -1.4.
Nachdem alle Werte im Array i-h sums (E-V-Summen) berechnet wurden,
wird die Eingabe-zu-Verdeckt-Aktivierungsfunktion auf die Summen angewandt.
Daraus ergeben sich die Eingabe-zu-Verdeckt-Ausgabewerte. Es gibt viele
mögliche Aktivierungsfunktionen. Die einfachste Aktivierungsfunktion wird als
Schrittfunktion bezeichnet. Bei dieser Funktion wird einfach für jeden
Eingabewert größer Null 1.0 und für jeden Eingabewert kleiner oder
gleich Null 0.0 zurückgegeben. Eine andere häufig eingesetzte
Aktivierungsfunktion, die auch in diesem Artikel verwendet wird, ist die
Sigmoidfunktion. Diese ist wie folgt definiert: f(x) = 1.0 / (1.0 * Exp(-x)).
Die Kurve der Sigmoidfunktion ist in Abbildung 4 dargestellt.
Die Sigmoidfunktion
Beachten Sie, dass die Sigmoidfunktion einen Wert im Bereich größer Null
und kleiner Eins zurückgibt. In unserem Beispiel gilt Folgendes:
Wenn der Wert für i-h sums(E-V-Summen) [3] nach Hinzufügen des
Biaswerts -1.4 lautet, erhält  i-h outputs (E-V-Ausgaben) [3]
den Wert 1.0 / (1.0 * Exp(-(-1.4))) = 0.20.
Nachdem alle Eingabe-zu-Verdeckt-Ausgabeneuronenwerte berechnet wurden, werden
diese Werte als Eingaben für die Berechnung der Neuronen der Verdeckt-zu-Ausgabe-Schicht
verwendet. Diese Berechnungen funktionieren wie die Eingabe-zu-Verdeckt-Berechnungen:
Es werden vorab gewichtete Summen berechnet, Biase hinzugefügt und anschließend
wird eine Aktivierungsfunktion angewandt. In diesem Beispiel verwende ich eine
hyperbolische Tangentenfunktion, kurz Tanh-Funktion genannt, für die
Verdeckt-zu-Ausgabe-Aktivierungsfunktion. Die Tanh-Funktion ist der
Sigmoidfunktion sehr ähnlich. Die Kurve der Tanh-Funktion weist eine
ähnliche S-Form wie die Kurve der Sigmoidfunktion auf, die Tanh-Funktion gibt
jedoch einen Wert im Bereich (-1,1) und nicht im Bereich (0,1) zurück.
Kombinieren von Gewichtungen und Biasen
Keine der Implementierungen neuronaler Netzwerke, die ich im Internet gesehen habe,
wahrt getrennte Gewichtungs- und Biasarrays. Stattdessen werden die Gewichtungen
und Biase in der Gewichtungsmatrix kombiniert. Wie ist dies möglich? Denken Sie
daran, dass die Berechnung des Werts des
Eingabe-zu-Verdeckt-Neurons [3] (i0 * w03) + (i1 * w13) + (i2 * w23) + b3 entsprach,
wobei i0 den Eingabewert [0] hat, w03 die Gewichtung für die Eingabe [0] und
Neuron [3] und b3 der Biaswert für das Verdeckt-Neuron [3] ist. Wenn Sie eine
zusätzliche, gefälschte Eingabe [4] mit einem Platzhalterwert von 1,0 und eine
zusätzliche Gewichtungszeile für die Biaswerte erstellen, ändert sich die
zuvor beschriebene Berechnung folgendermaßen:
(i0 * w03) + (i1 * w13) + (i2 * w23) + (i3 * w33), wobei i3 der
Platzhaltereingabewert 1.0 und w33 der Bias ist. Das Argument für diesen
Ansatz besteht darin, dass dieser das neuronale Netzwerkmodell vereinfacht.
Ich bin anderer Meinung. Meiner Meinung nach ist ein neuronales Netzwerkmodell
durch die Kombination von Gewichtungen und Biasen schwieriger zu verstehen,
und die Implementierung ist fehleranfälliger. Anscheinend bin ich jedoch
der einzige, der diese Meinung vertritt. Sie sollten daher Ihre eigene
Entwurfsentscheidung treffen.
Implementierung
Ich habe das in den Abbildungen 1, 2 und 3 gezeigte neuronale Netzwerk
mittels Visual Studio implementiert. Ich habe eine C#-Konsolenanwendunge namens
NeuralNetworks erstellt. Im Projektmappen-Explorer-Fenster habe ich mit der
rechten Maustaste auf die Datei Program.cs geklickt und diese
zu NeuralNetworksProgram.cs umbenannt. Dadurch wurde auch der vorlagengenerierte
Klassenname zu NeuralNetworksProgram geändert.