Schwarzschild-Ratio (Berechnungsmodell) für Daytrading und Sportwetten

Schwarzschild-Ratio (Berechnungsmodell) für Daytrading und Sportwetten Youtube: https://youtu.be/prigKmUE8N8 Author D. Selzer-McKenzie Schwarzschild-Ratio (Berechnungsmodell) für Daytrading und Sportwetten Youtube: https://youtu.be/prigKmUE8N8 Author D. Selzer-McKenzie Exakte Bahnen in der Schwarzschild Raum-Zeit 13.1 Diskussion der Newtonschen Bahnen 13.1.1 Die Erhaltungsgrößen Since the potential is spherically symmetric, we have the angular momentum as a constant of motion —dL = 0 , L = mx x v . (13-1.1) dt From this equation it is immediately clear that x • L = 0 and v • L = 0 (13-1.2) from which we can infer that the motion takes place in a plane orthogonal to L. We choose the coordinate system such that L = Le3. We also choose polar coordinates in the xl — x2—plane: xi = r cos (p , x2 = rsinyo. From the L3 component in polar coordinates L3 = mo (x12 — xY) (13-1.3) (13-1.4) where mo is the mass of the test particle, we get L3 = mr2yb (13-1.5) or, equivalently, L 9.0 = mori • If we know the solution r = r(t), then we can calculate from this the solution cp = (p(t). Since the potential is independent from the time we also have the conservation of energy 1 1 E = —2 mov2 + U(r) = —2 m0 (i.2 + rY) + U(r) = const. (13-1.7) With yi) from (13-1.6) this gives 2 1 ( L 1 2 1 .2 E = —mo r2 + —) + U(r) = —2 mor + Ueff(r) (13-1.8) mo r2 with the effective potential for the radial motion, see Fig.13.1, 1 L2 Ueff(r) = U(r) + 2m0 . (13-1.9) The second term is called the angular momentum barrier since it is a repulsive potential. The effective potential is not the "true" pontential, that is, the potential for the motion in three—dimensional physical space, it is the potential for the radial coordinate only. U Abbildung 13.1: The effective potential for the radial motion. We solve (13-1.8) for i. I.- = \/-2 (E — Ueff(r)). 7720 which yields dt = .V,7÷. (E - Uef f (r)) That is, we have implicitely r as function of time. Was wir letztendlich benötigen, ist r = r(t) und cp = v(t). Wir werden unten sehene, dass es sehr einfach ist, r = r(c,o) zu bekommen. Daraus erhalten wir v = 99(r), worin wir r = r(t) einsetzen können. Alternativ können wir aber auch den Drehimpulussatz cp = L/(mr2(t)) integrieren. 13.1.2 Die Lösung The distance as function of the angle We also can express r as function of v what we can solve explicitely. Owing to dr dr( dcp1 dcp dt dt ) (13-1.12) we get from (13-1.6) and (13-1.10) 2 dr r c7p = 7 \/27no (E — Ueff (r)) (13-1.13) or, explicitely, 2 r4 L2 (ddVr r2 2rn° E + rrirn°—r1 — 2rno 1• (13-1.14) This non—linear differential equation can be solved. For doing so, we make a transformation of the variable u := 1/r. Then or, 2 2 ( d—du L2 2 L 1 2m L2 2m 2mm ) = —zmo (E + momu — —n2) = — L2o u U2 . cp Dies können wir direkt integrierenl, wenn wir noch die Wurzel ziehen (13-1.17) 2m0 p 2m2 du dcp = \I L2 — + L2m ° u u2 (13-1.24) und Separation der Variablen machen Daraus folgt Integration ergibt Umkehrung gibt bzw. du' 2rno.E _L 2rron2 L2 L2 U —2u + 2Gmredm'm2 L2 \/ 2m dE 40274r4 + L 4A —2u + 2mm2 V \ 277-1EL2 + L4 4Trari3 2 2 E u = mmo (1 + 1 + L L2 2m2 n3sin(‘P 9%)) Reeintroducing r and choosing without loosing any generality cpo = 0, the final solution reads ro L2O M3M 2EL2 2 KW 1 + e cos ) = with ro e = 1 + (13-1.30) cp m 2 M 0 1Durch mehrere Umformungen kann man diese Differentialgleichung auch auf die einfache Form des Gleichung für den harmonischen Oszillator bringen: Differentiation of this relation with respect to w yields du\ d2u\ 1 du L2 du) —u— (13-1.18) dc,o) = —2m° (mm° L2 e/yo mo dcp and, thus, d ~d2 U L2 m2 = L2 mo (mmo rr70 = — u = A — u , (13-1.19) where A = em. Another substitution = u — A gives the equation d2ui 2 = , (13-1.20) which solution is u' = a cos(w — wo). In terms of u the solution is u = A + = A + a cos(cp — wo) . (13-1.21) If we insert this solution into (13-1.17) for w = 0 then we obtain the constant 2m0E(mL 2rn ) 2 a = L2 o2 (13-1.22) In terms of r we get 1 r = A + a cos(w — wo) <=> r(:,o) = ro (13-1.23) 1 + e 000(S0 500) • The orbit as function of time In order to obtain the orbit as function of time we have to perform the integration (??) for the Newtonian potential. dr mred dr t — to = J =(13-1.31) \i/ 2 (E + zarnirri2 L2 ) Mred r 2mredr2 L 1 \/ e2-1 + 2 _ 1 ro To r 771 The evaluation of the integral depends an the sign of e2 — 1, that is, an the type of the orbit. Elliptic orbit. In this case e2 < 1 so that t-1,0 — — 4 mred 1 rdr mredro I rdr L \I e(r2 + r— 1 ro LA/1 — e2 — With the substitution (since r is finite and periodic cos is a preferred choice) r — 1 r0 cos (pE dr = 1 — e e2 ro sin (pEckpE — 7'0e2 1 — e2 the integral becomes (13-1.33) mredro 1—r e2 e r. cos (,0 E i_e2 v t — to 2 ro sin (pEd(PE LA/1 — e2 e2 2 1 — e —2-ro — cos2 (PE) (1—e2) The parameter (pE is the eccentric anomaly (see below for the interpretation). Taking all together we arrived at a parametric representation of the orbit ro r =1— e2 (1 e cos 99E) , t = M (y9E — e sin 99E) , (13-1.35) where M = m" 2)03 is the mean anomaly. This is called the Keplerian representation of the L(1—e2)3/2 orbit. Neither the relation t = t(cp) nor t = t(c,oE) can be inverted in closed form. However, t = t(vE) is much more easier to handle. Hyperbolic orbit. Now e2 > 1 so that Mred rdr Mredro rdr t — to = — (13-1.36) L / r2 r _ 1 e2 — 1 / \ 2 V?rr + e7-2=7.) e2 2 Here we make the substitution e r + 1 —ro e2 = 1 —e e2 ro cosh cpE dr = 1 e2 ro sink (pEcbpE — and obtain (13-1.37) mredro L. e2 — 1 mredro L (e2 — 1)3/2 mredro L (e2 — 1)3/2 ro /cosh— 1) 1 — e2r0 sinh vEckpE e2 2 2 cpE (e cosh cpE — dcPE (e sink (pE — vE)dpE • (13-1.38) which gives the parametric representation r = r0 (e cosh (pE 1) , 1 — e2 2 Mredro = (e sink cpE — E) L (e2 — 1)3/2 (13-1.39) Parabolic orbit. In this case e2 = 1 and t — to = MredI rdr 2 1 Mredro ( r 1) \i/2ro1 — 1 , L / r _ 1 3 L ro ro (13-1.40) which can be squared. The resulting cubic polynomial can be solved for r as function of t. The meaning of the variable c,oE can be inferred from the solution for the angle c,o as function of time t: From the conservation of angular momentum we have L = mr2 —dyo = const. dt dcpL 1 L 1 dt = mr2= mr2(cp) (13-1.41) Separation of variables gives dt = —mr2W)c/cp mrä 19' dcp => t — to = —ffi fP r2 (‘Ac/cp = , , L L 4p0 I-, cpo (1+ e cos 42 ' (13-1.42) For bound orbits e2 < 1 we have2 2 rnro e sin 99 1 2 (1 — e) tan(cp/2)) e2 — 1 ,vi _ e2 arctan t — to = L (e2 — 1)(1 + e cos (p) Nil — e2 mr(2,sincp = (2 arctan ( .\1 /1- — + e 2 L(1 — e2)3/2 e tan `P e \/1 co e21 + e s v) . (13-1.45) Now we define a new variable through tan(PE — il. — e tan —40 . 2 \ 1+ e 2 (13-1.46) Then a lengthy but straightforward calculation gives3 sin y, _ sin vE (13-1.47) 1 + e cos (,o — ‘,/1 — e2 Using this and (13-1.46) in (13-1.45) yields 2 t — to =m L(1 — r eo2)3/2 (WE — e sin 90E) which is the same result as derived above. Using the new variable one can also show that ro ro r = =(1 — e cos cpE) . 1 + e cos v 1 — e2 As a consequence, cp E is a kind of redefined angle which geometrical meaning can be inferred from Fig.13.2. We first can read off ea = a cos cpE — r cos cp which we use to reformulate the equation of the orbit as r = r(cpE): We replace in a(1 — e2) r = <=> r + er cos cp = a(1 — e2) (13-1.50) 1 + e cos cp the term r cos and obtain r + e (a cos cpE — ea) = a(1 — e2) , (13-1.51) 2We use dx e sin(ax) 1 f dx (13-1.43) J (1 + e cos(ax))2 a(e2 — 1)(1 + e cos(ax)) e2 — 1 J 1 + e cos(ax) 2 (1 — e) tan(ax/2) for e2 < 1 dx .\/ arctan e2 = a j — e2 V1 — (13-1.44) / 1 + e cos(ax) a.ve22 — 1 arctanh (e — 1) tanh(ax/2) for e2 > 1. Ve2 — 1 Abbildung 13.2: The definition of the eccentric anomaly WE. The radius of the enveloping circle is a. If the momentary position of the body is given by (r, (p), then the eccentric anomaly cpE is the angle of that point lying an the enveloping circle which has the same x—coordinate d as the body. that is, r = a (1 — e cos cpE) . (13-1.52) This is the orbit as function of the eccentric anomaly (PE • Now we equate the expressions for r in terms of cp and cpE and obtain (1 — e2)a = a (1 — e cos 90E) . (13-1.53) 1+ecoscp This gives cos VE — e cos = (13-1.54) 1 — e cos c,t,E The characteristic term tan e in the expression for t = t(yo) can be expressed in terms of VE: yo \1 cp cos (pE—e 2 tan4P sin — cos2 1—e cos E ,\/ 1 e (pE 2 1 + cos 1 + cos yo 1 + 1cos soEos —e 1— e 2 (an — , —e c cpE which reproduces (13-1.46). Also for parabolic orbits we can calculate the time as function of the angle 99: (13-1.55) mr(2, (1 tan (p + 1 tan 3 V , (13-1.56) mro 1 cl yo — to —L ( + cos (P)2 = — L 2 so that we have 7.0 ind (1 yo 1 3 V r = t = L —2 tan —2 + —6 tan —2) . (13-1.57) 1 + cos cp ' Even for situations with perihelion shift it is possible to express the orbit in a Keplerian form. With (??) and (13-1.42) we obtain Integration gives m(1 - e)2rö dep t — to = L (1 ecos((1 e)cp)) (13-1.58) sin((1 e») t to = L(lm+(e1)+(lf—)2re?2))3',2 arctan (\/11 ++ ee tan (1 +2E» e \/1 e21 e cos((1 f)90)) (13-1.59) A definition of a new angle 'PE through tan (1 + eb,o E tan / 1 — e 1e (1 + e)v — 2 2 again leads to a Keplerian representation m(1 + e)rä t — to = L (1 — e2)32 ((1 + e)(pE — e sin((1 + €)99E)) (13-1.60) (13-1.61) so that together (1 + e)ro r 1 — e2 (1 e cos((1 + e)(,0E)) m(1 + e)rj t to = L(1 e2)3/2 ((1 -FeWE esin((1 + e)S0E)) (13-1.62) 13.1.3 Diskussion der Lösung Die Diskussion der Lösung besteht darin, für die verschiedenen Werte der Energie und des Drehimpulses die Bahn (Werte, Definitionsbereich, etc.) anzugeben. This is also related to the task of determining the singularities, that is, the angles v for which r —> oo which determines the admissible domain of v. The distance r becomes infinity if the denominator vanishes, 0 = 1+e sin(p. This is only possible for e > 1. Then yo = —arcsine-1. For further discussion we rewrite this solution in terms of cartesian coordinates. Taking the square of r0 — er coscp = r gives 2 ro — 2er0r cos e2r2 cos2 = r2 or (x1)2(1 — e2) + 2r0ex1 + (x2)2 = ro. Now we have to distinguish two cases: e = 1 and e # 1. e = 1: In this case we get —2roexl + (x2)2 = which alter the translation x1 = x1' + ro/2 gives a parabola4 (x2)2 =2rox1' We can see from (13-1.30) that the condition e = 1 in terms of the energy means E = 0. e 1: We divide through d and obtain After a translation this finally gives 1x2) = 1 22 2 (1 with 2 = ro 2)2 ' = 11 b24 (x2T ± ( e2I (13-1.69) ab — e — and where the ± is related to the cases 0 < e < 1 and e > 1: For 0 < e < 1 this equation is an ellipse5, while for e > 1 we obtain a hyperbola6, see Fig.13.4. 2 From (13-1.30) these cases are related to mredG2Lr n2 4 < E < 0 and E > 0, respectively, see Fig.13.3. 4See Appendix. 6See Appendix. 6See Appendix. Abbildung 13.3: The green lines denote the variation of the r coordinate for the various types of orbits. A circular motion is defined for one r only, for an elliptic motion r varies within a bound interval, while for a parabolic and hyperbolic motion r goes from from ro > 0 to infinity. From (13-1.30) it is also clear that the orbits with always finite r are closed orbits: For 0 < e < 1 the function r(v) is 27r—periodic. The point of minimum distance (perihel) has rmin = ro/(1 + e) and for the point of maximum distance (aphel) we have rmax = e/(1 — e). The distance becomes infinite if the denominator vanishes which happens for a certain angle which is defined by 1 + e cos cp = 0. That required e > 1. The minimum distance again is rinn, = ro/(1+ e). energy orbital shape eccentricity distance interval E = Emin < 0 circle e = 0 r = r0 E < 0 ellipse 0 < e < 1 rmin < r < rmax E= 0 parabola e= 1 rmin < r E > 0 hyperbola e> 1 rmin < r 13.2 Die Bewegungsgleichung 13.2.1 Die Geodätengleichung Wir gehen aus von einer Metrik der allgemeinen kugelsymmetrischen statischen Form ds2 = g(r)dt2 — f (r)dr2 — r2(d?92 + sin2 /942) (13-2.1) Die Metrik hat also in diesen Kugelkoordinaten als nicht verschwindende Komponenten goo = g(r) , 911 = -f (r) 922 = —r2 , 933 = —r2 sin2 e . (13-2.2) Alle anderen Komponenten sind Null. Wir verwenden diese allgemeine Form der statischen sphärisch symmetrischen Mwetrik, da dies noch unabhängig von den Einstein—Gleichungen ist. Das eröffnet die Möglichkeit, durch Vergleich von Beobachtungen mit den allgemein berechneten Effekten auf den Grad der Gültigkeit der Einstein—Gleichungen zu schließen. Natürlich werden wir auch den in obiger Metrik enthaltenen Spezialfall der Schwarzschild—Lösung ausgiebig behandeln. Mit dieser Metrik müssen wir die Geodätengleichung ausrechnen d2x4 f dxP de 0 * ds2 + 1" ds ds - d(13-s2 e dxP xv 2.3) + 1 gPcr(avgPu aPgvcr aug") dds 13.2. DIE BEWEGUNGSGLEICHUNG 179 Abbildung 13.4: The orbits of a two—particle system. Wir überschieben diese Gleichung mit 2gri, d2X4 0= 2grg CS2 grgg"-(avg19°. aPgvu acrg") d2 XP dxP dx" dxP dx" = 2n -.7T4 ds2 uvgPT ds ds tiPgV1- ds ds dxP dx" ds ds dxP dx" — argvp ds ds d dxµ dg,p dxµ dxP dx" 2cT 9Tµ ds-2 ds ds `uvgPT ds ds — dr d ( dxP dxP de = 2 -ds V 9TµdS arg" ds ds dxP dx" — uTgvP ds ds (13-2.4) Dasselbe Resultat erhält man auch, wenn wir direkt die Euler—Lagrange—Gleichungen der Wirkung S = f Lds mit L = gp, de: ds ds angeben: d OL dxP de. 0 = adxm =PgPc ds ds dx d ( dxP ds 9µP ds ) (13-2.5) Diese Gleichung schreiben wir jetzt für die Komponenten T = t, r, 19 und cp aus: 2r = t dxP dx`r d dxn o = atg PG. ds ds ds OtP ds ) 2 atgtt (ds) dt + atg, (ds) 2 + atgee ( ds ds ds tt ds ) 2 atg )2 2 d dt) T = '19 T=cp argtt dt 2 + argr, 2 + arga919 ( 2 + argee C/XP 2 ds ds ) ds ) ds ) dxP der 2 d dxn 0 = ti&gPc ds ds ds ds ) aegtt 2 + aegrr 2 + chn 2 + aog dci9 2 ds ) ds ) ds ) ds ) 2 dcp\ = 8,9g9'9' — 2dd s (9 eeddl9s) = (—r2 sin2 /9) ( ce) 2 — 2 ds (—r22) 2 = —2r2sin19cos19 (c11 + 2 (r2 d(119) ds ds s dxP dxa d dxf) —tiwgP°. ds ds2 ds g9°19 ds ) d 2— a ds «-'rr ds (13-2.7) 2—d ( de) ds goß ds (13-2.8) ( dt 2 ( dr2 ( de \ 2 ( dcp\ 2 a`Pgtt °'"grr s °`Pg" s ) u`Pg"' s = 2c± (r2sin2 19°c1 ds ds Wir werden die r—Gleichung durch die Gleichung — 2 c± ds V)Y‚ ds (13-2.9) 2 2 2 d\ 2 e— ggv Cis ds dxg dxv = g t t Gtls) g r r (dr)2+ + g Cdt ) " ( + g" (7.9) (13-2.10) austauschen, wobei wir statt der 1 ein e gesetzt haben, welches wir im Falle von Lichtbahnen 0 setzen. In diesem Fall ist das s nicht mehr als Eigenzeit, sondern als affiner Parameter zu interpreteren. Wir haben also die folgenden Gleichungen zu lösen, wobei wir gleich die Metrik—Komponenten eingesetzt haben: 0 = E = 0 0 = d dt ds •gtt ds ) gtt ) 2 grr (ds )2 2 2 dp —2r2 sin cos 19 (—ds) + —d ds d (7-2 sin2 19'°c ) s 2 r2 (LW) — r2 sin219 ds 2 c± (r2c119) ds ds d(,o ds2 (13-2.11) (13-2.12) (13-2.13) (13-2.14) wählen. Dadurch reduzieren sich obige 4 Gleichungen zu 3 Gleichungen d ( dt 0 = ds Ott ds ) (13-2.15) ( dt2 ( dr 2 2 (ds) (13-2.16) E (13-2.16) = gtt (ds) grr (ds) r ds ) d ( 2dyo ds) . 0 ds V'. =(13-2.17) 13.2.2 Erhaltungsgrößen Die erste und dritte Gleichung sind Ehaltungsgrößen dt dco gtt(r)Fis = A r 2 B ds (13-2.18) wobei A und B Konstanten sind. Es ist klar, daß mB (m ist die Masse des Teilchens) mit dem Drehimpuls L des Teilchens zu identifizieren ist. Diese Konstanten der Bewegung erhalten wir auch mittels der Killing-Vektoren (11-2.77) bzw. (11-2.78). Gemäß Abschnitt 7.2.3 sind e,,ug Konstanten. Für unsere Killing-Vektoren sind dies dx° dx° A = E = g(e,u) = epuP = 9o°8µ131µ= 9°01°= 9013-ds = g(r) d--s (13-2.19) 3 3 dx3 B = L = g (e , u) - µ4Lµ = g33(51,01µ = g30dyo .o 3 = 933 - -r 2 sin2 u — . (13-2.20) ds ds Das sind genau dieselben Ausdrücke, wie sie auch aus der Bewegungsgleichung folgten. Damit ist E die erhaltene Energie und L der erhaltene Drehimpuls, jeweils pro Masseneinheit. Damit haben wir es im Folgenden mit den drei Gleichungen zu tun. dt E gtt ds dtV ( dr '\ 2 2 ) 2 a E = -tt (ds) -grr c1.9 ) r ( ds 2 chio r ds (13-2.21) (13-2.22) (13-2.23) 13.2.3 Die Differentialgleichungen Für eine vollständige Bestimmung der Bahn eines Teilchen benötigen wir r = r(s), t = t(s) und cp = cp(s). Falls wir auch r = r(t) und yo = yo(t) benötigen, können wir t = t(s) nach s auflösen und in r = r(s) und cr, = w(s) einsetzen. Für die Bestimmung der Form der Bahn verwenden wir r = r(yo), was wir aus r = r(s) und yo = yo(s) durch Elimination von s erhalten. All diese Abhängigkeiten können wir herleiten, wenn wir t = t(r), s = s(r) und y; = yo(r) kennen. Letztere können durch Integration der obigen Bewegungsleichungen zusammen mit den Konstanten der Bewegung gewonnen werden. Die Gleichung für s = s(r) erhalten wir durch Einsetzen der Konstanten der Bewegung in (13-2.22) woraus ( dr 2 gttgrr 1 ( L2 gtt—r2 - Egtt) (13-2.25) Schließlich folgt die Gleichung für r = r(cp) aus (13-2.25) durch die Ersetzung dr L . dpa' ( 2 dr dcp)2 = dr 2 _L 1 (E2 L2 = – gu r2 – Egtt , dv ds dyo r2 gttg„ woraus (dr) 2 = r4 (E y2 _tt L2 c190 L2 gttgrr r2 tytt folgt. Zusammen haben wir also die drei gewöhnlichen nichtlinearen Differentialgleichungen zu lösen ( dr 2 r4 1 ( 2 L2 cic,o j L2 gttgrr E — gtt (6 + 72 ( dr 2 1 (E2 gtt (6 + L2 ci.$) gugrr r2 )) ( ddt) r 2 E2 g„ gtt (E2 — gtt (6+ ii+22 )) • (13-2.30a) (13-2.30b) (13-2.30c) Setzen wir die expliziten Ausdrücke für die Schwarzschild—Metrik ein, gtt = 1 — 2m = g„ I erhalten wir ( dr2 = r4 (E2 _ (1 _ 2m) (e m _L L2)) cic,o j L2 r r2 (dr) 2 E2 (1 2m) (E+ L2 r 2 ) ( dr 2 = 1 (1 — 2m 2 (E2 — (1 — 2Tri (6+ L22 . dt ) E2 ) J r J J (13-2.31a) (13-2.31b) (13-2.31c) Wie im nichtrelativistischen Fall führt man eine neue Variable u ein, u = 2m/r. Dann ist z.B. dr du dr du 2m dc,o dc,o du dcp u2 (entsprechendes gilt für dr I ds und dr I dt) und wir erhalten (13-2.32) 2 ( cl) 4m2u 4Lm22 = (E2 — (1 — u) (e + 12 u2)) (13-2.33a) cl(io ( c11.1ds) 2 4m2 U4 = (E2 – (1 – U) (E + zri-L22 U2) ) (13-2.33b) u4 1 ( dt) 4mlu 2 = 4m2 (1 — u)2 (E2 — (1 — u) (6 + —L22 u2)) , (13-2.33c) bzw. 2 (du) = 4M2 4M2 L2 (E-, – e) + e .12U – U2 + U3 (13-2.34a) cp ( clu 2 U4 4m22 (L22 41722 (E2 47/22 = 4m2 4m2 L2 – 6) + 6 L2 U – U2 + U3) (13-2.34b) ds ) 2 ( dt) u U4 4m2 L2 4m2 E2 1 (1 — U)2 (L22(E2 — e) + e .E217n2u — u2 + u3) (13-2.34c) = Separation der Variablen führt dann auf du \/u3 — u2 + eeu + (E2 _ e) 4m2 du L u2 u3 _ u2 647,4u + 4;3_7,2 (E2 e) 4m2E V du L u2 (1 — u) u3 — u2 + ctir2 u + 4r2 (E2 e) Wir führen noch die Abkürzungen A (2m 2 > 0 L ) ein und eliminieren den in u quadratischen Term durch die Substitution 1 x = u — — 3 und erhalten dx (X + VX3 — — EA) X — (4 + _ dt = ALE (x + (4 x) \/ dx X3 EA) X — &EÄ AM) bzw. 40 d— dx = (13-2.39a) 2 v 4x3 — g2x — g3 AL dx (13-2.39b) 2 (x + 2 /4X3 — 92x — 93 dtdx ALE 2 (13-2.39c) 2 (x+3)(i — X) N/LIX3 — g2X — g3 wobei 1 92 = 4 (-3 — EX 3 27 ) , g3 = 4 (-2 2 —eÄ — Aµ . (13-2.40) Diese Gleichungen werden wir zu lösen haben. Die letzten beiden Gleichungen können unter Zuhilfenahme der Lösung der ersten Gleichung noch umgeschrieben werden ds = AL dp (x(cp) + 3)2 dt = ALE (xW chp) + (e x(4) (13-2.41) (13-2.42) Für die verschiedenen Variablen r, u und x ergeben sich folgende charakteristischen Werte r = 0 r = 2m r = 3m r = 6m r = oo <—> U = 00 <—> X = 00 2 <—> U = 1 <—> X = u 2 1 <—> u= u <—> X = u 1 <—> U = u <—> x = 0 1 <—› u = 0 <—› x = —u (13-2.43) 13.2.4 Das effektive Potential Wir diskutieren noch kurz Gleichung (14-2.1b). Diese lautet 1 (dr 2E2—E77LE L2 mL2 E2 — E i T S ) — 2 + r 21-2 + r3 = 2 Veff • (13-2.44) Dies beschreibt die Zentralbewegung in einem effektiven Potential mL2 m L2 Veff =— 7, E + 2r2 — r3 . (13-2.45) Der dritte Term kommt hier im Vergleich mit Newton hinzu. Das effektive Potential ist in Abb. 13.5 dargestellt. Der Bewegungsbereich Bei vorgegebener Energie E kann eine Bewegung nur dann stattfinden, wenn E22—' — Veff > 0. Der Bereich der möglichen Bewegungen wird also durch die Nullstellen der Gleichung 2 — E E2 — e L2 mL2 0=E2 Veff =2 2 +m 7. f — r2 + r3 bestimmt. Multiplikation mit r3 ergibt eine kubische Gleichung E2 — EL2 0= 2 r3 + emr2 2 — —r + mL2 . Wir betrachten massive Teilchen und Licht getrennt. Licht e = 0 Dann gilt E23 2 L2 0= 2 —1" — —r + mL2 . Für E = 0 ist r = 2m. Falls E * 0 ... Teilchen e = 1 Dann gilt E2 — 1 0= 2 r3 + mr2 — 2 L2r + mL2 . Falls El- — 1 = 0 ist, reduziert sich das auf eine quadratische Gleichung 2 0 = r2 — —Lr + L2 (13-2.50) 2m mit den Lösungen r12 = 4— .r1 (L ± \ / L2 - 16m2) (13-2.51) Im Falle E2 — 1 # 0 können wir durch E2 — 1 dividieren und durch die Substitution r = f-• + a den quadratischen Term eliminieren 0 = r3.... (13-2.52) Diese besitzt entweder eine oder drei reelle Lösungen. LL1 p33: Bestimmung des effektiven Potentials aus Schwingingsdauer Extrema des effektiven Potentials 13.2. DIE BEWEGUNGSGLEICHUNG 185 U L2 2mr2 Veff Gm r (a) Newton L2 2mr2 (b) Teilchen L2 2mr2 Veff (c) Licht Abbildung 13.5: Das effektive Newtonsche (links) und relativistische (rechts) Potential für die Zentralbewegung Licht e = 0 Für Licht dVeff = — —L2 + 3 mL2 L2 dr r3 r4 = + 3m) • Diese Ableitung verschwindet für L # 0 bei r = 3m . Es gibt also ein Maximum, welches unabhängig von L ist, siehe Abb. 13.5c. Teilchen e = 1 Das effektive Potential kann zwei Extrema besitzen. Wir haben dVeffm L2 r,mL2 1 = — 2— + = — (mr2 — L2r + 3mL2) . dr r2 2r3 r4 r2 Diese Ableitung verschwindet bei 1 =2m (L2 ± LV'L2 — 12m2) Das effektive Potential hat also, falls L2 > 12m2 = gcrit ist, ein lokales Minimum bei r+ = 2m (L2 (L2 + L2 — 12m2) und ein Maximum bei r_= 2m (L2 — LVL2 — 12m2). Die Extrema des effektiven Potential liegen bei Veff(r_) = Veff (r+) = Das kritisches effektives Potential ist dasjenige, bei dem die beiden Extrema zu einem = Lerit = Sat- telpunkt verschmelzen. Dies liegt bei L2 12m2 bzw. bei A = s vor, siehe Abb. 13.6. Ein weiterer Spezialfall liegt vor, wenn das Maximum des effektiven Potentials gerade Null ist, Veff(r_) = 0. Das ist der Fall bei L = 4m2 bzw. A = 4. Desweiteren ersieht man aus der radialen Bewegungsgleichung (13-2.44), dass eine ungebundene Bahn, d.h. eine Fluchtbahn oder ein escape orbit, genauer der Grenzfall r —> oo, nur dann möglich ist, wenn dabei die rechte Seite von (13-2.44) positiv bleibt. Da das effektive Potential (13-2.45) für r —+ oo verschwindet, geht das nur, wenn E2 — e > 0 ist. Damit erhalten wir die Interpretation Fluchtbahn (escape orbit) = E2 — E > 0 <=> 1.1 > E (13-2.59) bzw. * Für d = 5, ... nennt man die Integrale hyperelliptisch und ultraelliptisch Im Folgenden benötigen wir nur die elliptischen Integrale. Durch sukzessive Substitutionen kann man zeigen [4], dass das allgemeinste elliptische Itegral f R(z, w(z))dz sich darstellen läßt als Linearkombination einer rationalen Funktion und drei elliptischen Normalintegralen R(z, w(z))dz = R2(z , w(z)) I + B zdz + C f y yo dz y y 2 z— zo y (13-3.3) wobei y2 = 4z3 — g2z — g3 . (13-3.4) Die fundamentalen elliptischen Integrale lauten F(x, k) dz fx 4 (13-3.5) = 1 0 \ / (1 — z2)(1 — k2z2) = Jo -V1 — k2 sin2,0 = j f. 1 — z2 dz 1 _ k2z2 x / E(x, k) = 1 V 1 — k2 sin21pcto (13-3.6)o V o dz_x d fo ll) II(x, r, k) = (1 — rz),\/(1 _ z2)(1 — k2z2) /0 (1 — r sing 1p) N/1 — k2 sing 0 (13-3.7) weobei x = sin 1/) substtuiert wurde. Die dazugehörigen vollständigen elliptischen Integrale lauten dz K (k) = F( , k) = .10 .\/(1 — z2)(1 — k2z2) E (k) = E k) = J a I V 11 kz2 z2 dz — 13.4 Elliptische Funktionen Es gibt mehrere Zugänge bzw. Definitionen der elliptischen Funktionen: 1. Als Umkehrfunktionen der elliptischen Integrale. (13-3.8) (13-3.9) 2. Eine analytische meromorphe doppeltperiodische Funktion mit den Perioden cui und W2 mit w2/w1 nicht reell (oder w2 nicht kollinear zu w1) nennt man elliptische Funktion. Wir beschreiben im wesentlichen den ersten Zugang, mit dem wir die Jacobischen und Weier-strass'schen elliptischen Funktionen einführen. Der zwite Zugang wird im Zusammenhang mit den Weierstrass'schen elliptischen Funktionen kurz erwähnt. 13.5 Die Jacobischen elliptischen Funktionen Wir wollen nun die obere Integrationsrenze x im unvollständigen elliptischen Integral der ersten Art als Funktion des Integrationswertes u u = F(x, k) (111) = \/1 — k2 sing1» darstellen. Für festes k nennet diese Umkehrung die Jacobische Amplitudenfunktion (13-5.1) x = am(u, k) . (13-5.2) The Jacobi amplitude function is either a periodic function (for parameters k < 1), or a linear function with a superimposed periodicity (for k > 1) and in the limit (k = 1) it asymptotically approaches a constant value, siehe Abb. 13.7. Diese Amplitudenfunktion stellt die exakte Lösung des mathematischen Pendels dar, wobei k eine Art normierte Amplitude ist (für klene k ist die Amplitude klein und der am wird sehr gut durch den Sinus approximiert, für k —> 1 wird die Amplitude 7r). Jacobi anplitude function Abbildung 13.7: The Jacobi amplitude functions for parameters k < 1 to parameters k > 1. Bilden wir von dieser Amplitdenfunktion den Sinus und Cosinus, dann erhalten wir die Jacobi-schen elliptischen Funktionen sn (sinus amplitudines) und en (cosinus amplitudines). Darüberhinaus definieren wir auch noch die elliptische Funktion dn sn(u, k) = sin x = sin(am(u, k)) (13-5.3) cn(u, k) = cos x = cos(am(u, k)) (13-5.4) dn(u, k) N/1 — k2 sing x = — k2 sin2(am(u, k)) , (13-5.5) These functions are generalizations of the trigonometric functions sin and cos: sn(u, 0) = sin u , cn(u, 0) = cos u , dn(u, 0) = 1. (13-5.6) It can be shown that the Jacobi elliptic functions obey the differential equations dsnu dcnu ddnu du = cnu dnu , du = —snu dnu , du = —k 2snu cnu . (13-5.7) There are more relations of the structure generalizing the relations of the trigonometric functions, e.g., sn2u cn2u = 1, k2sn2u dn2u = 1, k2cn2u 1 — k2 = dn2u etc. (13-5.8) One property of the Jacobi elliptic functions is very important: They are periodic: sn(u+2nirK, k) = (-1)" sn(u k) , cn(u+2nirK, k) = (-1)n cn(u, k) , dn(u+2n7rK, k) = dn(u, k) , (13-5.9) where K = K(k) is the complete elliptic integral of the first kind. Plots of the Jacobi elliptic functions for various parameters k, ranging from k = 0 (cyan), which reduces to the trigonometric functions sin and cos) in steps of 0.1 to the extreme case k = 1 (red) are given in Fig. 13.8 13.6 Mathematischer Einschub: Weierstrass'sche elliptische Funktionen Die Integration der Differentialgleichung (13-2.39a) lautet — 00 = Ix° .V4x3 — g2x — g3 (13-6.1) wobei wir der Einfachheit halber lp = cp/2 setzten. Hier ist nun x eine Funktion von IP: x = x(0), die Integration verläuft entlang eines Weges von x(o) nach x(0). Hierbei ist zu beachten, dass der Nenner drei oder eine reelle Nullstellen besitzt. 13.6. MATHEMATISCHER EINSCHUB: WEIERSTRASS'SCHE ELLIPTISCHE FUNKTIONEN191 A > 0 Imz e3 e2 ei Rez Abbildung 13.9: Der Verlauf des Real- und Imaginärteils und des Absolutwertes der Funktion V4(z — ei)(z — e2)(z — e3) und 1/V4(z — ei)(z — e2)(z — e3) für ei = 0.8, e2 = 0.2 und e3 = —1. Links sind die Verzweigungsschnitte aufgetragen. Daraus folgt zunächst '02 - 0]. = / dz (13-6.16) ,V4z3 — g2z — g3 siehe z.B. Abb.13.10. Für die Kurven C1 und C2 bzw. C2 erhalten wir und es gilt = 02 — 2w2 bzw. 01 = '02 — 2w1. (13-6.18) Damit haben wir dz ici ,V4z3 — g2z — g3 = Ih und dz .V4z3 — g2z — g3 = 01 + 14)2 . (13-6.19) Da x unabhängig vom Weg derselbe Punkt im C sein soll, muss gelten X = P(01) = P(01 2w2) bzw. x = P(01) = +24 . Damit muss lp eine periodische Funktion mit den Periode 2w1 und 2w2 sein. (13-6.20) Abbildung 13.10: Die Integration von xo = 0 nach x entlang verschiedener Wege. Dabei müssen einerseits die Pole ei, e2 und e3 der Funktion 1W4z3 — g2z — g3 umfahren werden, wie auch sichergestellt sein, dass die Wege immer auf demselben Blatt der mehrwertigen komplexen Funktion 1/N/4z3 — g2z — g3 verlaufen (gestrichelte Linien verlaufen auf einem anderen Blatt als durchgezogene Linien). Man kann nun zeigen mit z = zl + iz2 mit zi = Liz und z2 = dz dz .V4z3 — g2z — g3 \/44. — g2z1 — g3 — 12z24 i (3z? — z2 — 1g2) z2 /(44 — g2zi — g3-12z24)2 + ((34 — 1g2) z2)2 ,V ?. 4z — g2zi — g3 — 12z24 \/1 i 4zi —g2zi —g3-12z24 2 3z2—z2— 492)z2 (13-6 21) \/(44. — g2zi — g3 — 12z24)2 ((Ui — — 1g2) z2)2 Wir können den Weg um den Verzweigungsschnitt [e2, ei] so deformieren, dass z2 « 1. Dann können wir entwickeln * V4z. — g2zi — g3-12z24 (44. — g2zi — g3-12z24)2 + ((34 — 1g2) Z2 ) 2 X (1 (3z? — — 1g2) z2 dz . 2 4.4— g2zi — g3 — 12z24 i Dabei ist der Realteil eine gerade Funktion in z2 und der Imaginärteil eine ungerade Funktion. Mit ei +iz? ei e2—i4 e2+iz2 e2-Fiz2 ei-Hz? fei e2—iz2 dz2 dz2 erhalten wir im Limes z2 —> 0 ei ±i4 ei lim / = dZi zi2e0 dZi = 2 limo dzi = 2 dzi , Z2—>C1 Z2—>0 fe2+iz? z2—> e2 /e2e:iziz: (13-6.23) (13-6.24) wobei der letzte Schritt möglich war, weil der Integrand eine ungerade Funktion in z2 ist. Somit ist die halbe Periode gegeben durch Analog kann man zeigen ei dz w2 e2 .V4z3 — g2z — g3 e2 dz w1= L3 .V4z3 — g2z — g3 (13-6.25) (13-6.26) Damit ist die Funktion p(z) periodisch mit den beiden Perioden (4)1 und (4)2. Wir schließen dabei den Fall aus, dass w2 kollinear zu (4)1 ist, d.h. dass (4)2/(4)2 reell ist. Damit kann man ein Periodenparallelogramm aufzeichnen, siehe Abb.13.11, mit der Eigenschaft, dass die Funktion p(z) in jedem Parallelogramm dieselben Werte annimmt. Durch eine affine Transformation kann man die reelle und imaginäre Achse im C so wählen, dass die eine Periode reell und die zweite rein imaginär wird, siehe Abb.13.13. 13.6.3 Eine reelle Nullstelle Bei einer reellen Nullstelle sind zwei Nullstellen jeweils komplex konjugiert zueinander. Dann kann man die Verzweigungsschnitte z.B. so legen, wie in Abb. 13.12 angegeben. Hier gilt nun für die Halbperioden K - iK' = W9a2 + 02 K + iK' W2 = v9422 + 02 (13-6.27) Beweis Über die Periodizitätseigenschaften kann man auch zeigen, dass p eine gerade Funktion ist, p(—z) = p(z). Beweis .... 13.6. MATHEMATISCHER EINSCHUB: WEIERSTRASS'SCHE ELLIPTISCHE FUNKTIONEN193 c- Z A Abbildung 13.11: Eine elliptische Funktion nimmt in jedem Parallelogramm dieselben Werte an. Das durch wl und w2, w1 w2 definierte Periodenparallelogramm ist rot gekennzeichnet. A < 0 Imz e2 O Rtz ei Abbildung 13.12: Der Verlauf des Real- und Imaginärteils und des Absolutwertes der Funktion .\,/4(z — ei)(z — e2)(z — e3) und 1//4(z — ei)(z — e2)(z — e3) für e2 = 1.7 und e1,3 = —0.7 ± i. Links sind die Verzweigungsschnitte aufgetragen. 13.6.4 Systematischer Zugang Elliptische Funktionen können systematisch als doppelt periodische meromorphe Funktionen eingeführt werden. Dabei spielt dann die Weierstass'sche grFunktion eine ausgezeichnete Rolle. Eine Funktion bezeichnet man als meromorph, wenn sie auf C bis auf eine diskrete Menge von Punkten analytisch ist, und bei keinem dieser Punkte eine wesentliche Singularität8 besitzt. Eine Konstante w E C nennt man Periode einer meromorphen Fnktion f , wenn f (z + nw) = f (z) für n E N. Es kann nun gezeigt werden, dass alle nichtkonstanten meromorphen Funktionen entweder eine oder zwei Perioden besitzen, wobei im letzteren Fall `ce gelten muss, d.h. die beiden kom- plexen Perioden dürfen nicht kollinear sein, siehe Abb.213.11. Dies ist ein ziemlich starker, d.h. einschränkender, Satz über die Struktur meromorpher Funktionen. Die doppelt periodischen mero-morphen Funktionen nennt man elliptisch. Für diese elliptischen Funktionen f gilt nun: (i) Wenn f polstellenfrei ist, ist f = const.. In jedem Periodenparallelogramm P(zo) := {zo + tiwi + t2w2 0 < ti, t2 < 1} besitzt f höchstens endlich viele Pole. (iii) Die Summe der Residuen im Periodenparallelogramm einer elliptischen Funktion ist Null. Die Summe der Ordnungen der Pole im Periodenparallelogramm bezeichnet man als Grad der elliptischen Funktion. Damit kann es keine elliptische Funktion vom Grad 1 geben. Außerdem gilt für eine nichtkonstante elliptische Funktion f : (i) Die Gesamtordnung der Nullstellen bi, i = 1, , 1 von f (z) — c, c E C, im Periodenparallelogramm ist gleich der Gesamtordnung der Polstellen ai, j = 1, . . . , k und (ii) es gibt m, n E Z, so dass Eli=i b/ = Ek ak + m(41 nw2. Nun wollen wir die einfachste elliptische Funktion angeben. Diese muss einen Pol der Ordnung 2 besitzen. Sei dieser Pol in zo = 0, dann liegt es nahe f (z) = z + h(z) mit einer holomorphen 8Eine Funktion besitzt an einem Punkt zo eine wesentliche Singularität, wenn die Laurentreihe um diesen Punkt an(z — zo)'n keinen kleinsten negativen Exponenten besitzt. -c2-sz Abbildung 13.13: Die fundamentalen Periodenparalellogramme (rot) der Weierstrass'schen p—Funktion, links für A > 0, rechts für A < 0. Das fundamentale Rechteck ist blau umrandet und grau schattiert eigezeichnet. Kennt man p im fundamentalen Rechtek, kennt man sie überall. Funktion h anzusetzen. Die Periodizität f (z mwi nw2) = f (z) erzwingt dann einen Ansatz 1 1 1 p(z) = +(z - 2m.1 - 2nw2)2 (2MW1 + 2nw2)2 m,nEZ rn,n*0 (13-6.28) wobei über alle m und n summiert wird, außer über m = n = 0. Dies ist die doppelt—periodische Weierstrass'sche elliptische Funktion p. Die Größen 2w1 und 2w2 sind die Perioden dieser elliptischen Funktion p(z + 2mwi + 2nw2) = p(z) w2 E C mit Imw2 0 . (13-6.29) Letzteres bedeutet, dass wi und w2 nicht kollinear sein dürfen, d.h., dass diese beiden komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene eine Fläche aufspannen. p ist offensichtlich eine gerade Funktion p(—z) = p(z) Außerdem ist dp(z)2 1 p (z) = =2 E dz z3 (z — 2mwi — 2nw2)3 . m,n Die Ableitung ist offenbar ungerade p'(—z) = —pi(z) . Damit kann man zeigen 2 dp(z) 2 1 = 4 dz (z_2m.2 -2n.2)3 =4P3(z)-g2P(z)- 9 3 m,nEZ m,n40 Man kann sofort sehen, dass 13.6. MATHEMATISCHER EINSCHUB: WEIERSTRASS'SCHE ELLIPTISCHE FUNKTIONEN195 13.6.5 Allgemeine Eigenschaften Ein Additionstheorem 1 Pi (a) (ß) ) p(a) p( o)2 P(a ß) 4 ( P(a) P(0) (13-6.36) Die besondere Bedeutung der Weierstrass'schen elliptischen Funktion p ersieht man daraus, dass es jede elliptische Funktion f durch p und rationalen Funktionen R1 und R2 dargestellt werden kann: f (z) = Ri(p(z)) + (z)R2(6z(z)) • (13-6.37) Diese rationalen Funktionen können durch die später einzuführenden a— und (—Funktionen dargestellt werden. 13.6.6 g an den Nullstellen Es gilt P(w1) = ei , P(wi + w2) = e2 p(w2) = e3 Wegen „ \ 2 UPd:j JJ = 4 (P(z) — et) (P(z) e2) (P(z) e3) folgt dp(z) 0 dp(z) 0 4(z) 0 dz ei dz e2 dz e3 Differenzieren wir die Differentialgleichung für p(x) noch einmal, erhalten wir p"(z) = 6p2(z) — 292 (13-6.38) (13-6.39) (13-6.40) = 2 ((p(z) — e2) Daraus folgt insbesondere d2p(z) (p(z) — e3) (p(z) — ei) (p(z) — e3) (p(z) — ei) (p(z) — e2)) 2 (p(z) — e2) (P(z) = 2 (et — e2) (ei — e3) > 0 e1 2 (p(z) — ei) (P(z) e3) 1e1 = 2 (e2 — ei) (62 — e3) < 0 e2 2 (p(z) — ei) (P(z) — = 2 (e3 — ei) (e3 e2) > 0. e3 dz2 d2p(z) dz2 d2p(z) dz2 13.6.7 Reelle Anteile von p(z) Für den Fall, dass wi reell und w2 rein imaginär ist, w1 = a, w2 = iß mit a, ß E , dann gilt p(z) = p(7), d.h. p(x iy) = p(x — iy) (13-6.45) für reelle x und y. Das sieht man sofort aus der Definition von p vermöge der Summenformel. Als Spezialfall ergibt sich, dass auch p(x) reell ist, denn für y = 0 reduziert sich (13-6.45) genau auf diese Aussage. Als weiterer Spezialfall ergibt sich , dass p(x) und p(iy) reell sind. Denn wegen (13-6.45) ist p(iy) = p(—iy) während aus der Geradheit von p folgt p(—iy) = p(iy). Zusammen heisst dies y0(iy) = P(iy) d.h. g(iy) E (13-6.46) Desweiteren erhalten wir p(a iy) = p(a — iy), während aufgrund der Geradheit und Periodizität von p auch gilt p(a + iy) = p(—a — iy) = p(—a — iy 2a) = p(a — iy). Deswegen ist p(a + iy) = p(a + iy) d.h. p(a + iy) E . (13-6.47) Schließlich gilt noch wegen der Periodiziät p(x + iß) = p(x — iß) = p(x — iß + 2iß) = p(x iß), d.h. p(x + iß) = p(x + iß) d.h. p(x + iß) E . (13-6.48) 196 KAPITEL 13. EXAKTE BAHNEN IN DER SCHWARZSCHILD RAUM—ZEIT p(x) ui—periodisch Abbildung 13.14: Die vier reellen Anteile der Weierstrass'schen p—Funktion. Schwarz: p(x) mit Wertebereich [ei, oo). Grün: p(x w2). Blau: p(ix) mit Wertebereich (—oo, 63]. Rot p(ix wi) mit Wertebereich [63, 62]. Die Werte e3 < 62 < ei sind als gestrichelte Linien eingezeichnet. p(x) und p(x w2) besitzen die Periode wi, p(ix) und p(ix wi) besitzen die Periode i(42. Damit sind bei reellem w1 und rein imaginärem (4)2 die Funktionen p(x), p(x + w2), p(ix + w1) und p(ix) rein reell. Sie sind in Abb. 13.14 aufgezeichnet. Bei Anwendungen werden die Wertebereiche der grFunktion und deren Ableger wichtig. Ist z.B. p(x) eine reelle Lösung der Differentialgleichung (13-6.33) bzw. (13-6.39), dann ist auch p(x + iß) eine Lösung, denn dp(x + iß) dp(x + iß) d(x + iß) dx (13-6.49) 13.6.8 Darstellungen der Weierstrass'schen Funktion Positive Diskriminante Für positive Diskriminante A > 0 liegen drei reelle Wurzeln e1, e2 und e3 vor, die wir so bezeichnen, dass el > e2 > e3 ist. In diesem Falle ist dann dz 1 .v4(z - ei)(z — e2)(z — e3) wobei u = gQ((,o). Wir können nun das Integral auf eines der elliptischen Integrale zurückführen. Dazu substituieren wir ei — e3 z = e3 x2 Damit erhalten wir 2 .V(e3 + fe3 el:e ei) (e3 '1;263 e2) (e3 + 61:263 e3) x dx ,V(1 — x2) (1 — k2x2) 1 arcsin x de V/ ei — e3 — k2 sin2 ' mit k2 = —2-3-e . Dies stellt ein elliptisches Integral mit dem Modulus k dar: e1—e3 1 F(arcsin x, k) (13-6.53) .%/ei — e3 mit der Umkehrfunktion x = sn Wel — e3c,o) . (13-6.54) Damit haben wir mit (13-6.50) und (13-6.51) e1 — e3 u = p(cp) = e3 2 „ (13-6.55) sn Wel — e3V) 13.6. MATHEMATISCHER EINSCHUB: WEIERSTRASS'SCHE ELLIPTISCHE FUNKTIONEN197 Mittels Identitäeten ziwschen den verschiedene Jacobischen elliptischen Funktionen sn, cn und dn erhalten wir die folgen Darstellungen p(z) = e3 + (ei e3) (13-6.56) sn2W 1 el — e3z, k) e2 + (ei e3) dn2 Wel — e3z,k) = (13-6.57) sn2(Vei — e3z, k) )cn e1 — e3z, k) = ei + (ei e3) _ (13-6.58) sn2(, — e3z, k) wobei k = \ . Diese Funktionen sind für reelle z periodisch. Der sn ist eine Verallgemeinerung ei—e3 der sinus—Funktion, die beim Argument 0 verschwindet. Die halben Perioden ergeben sich zu 00 dz e2 dz K (44 = = = (13-6.59) ei •V4z3 — g2z — g3 e3 \/4z3 — g2z — g3 -/ei — e3 e3 dz ei dz K' = = (13-6.60) W2 = foe \/-4z3 + g2z + g3 Jet —4Z3 g2z g3 e3 Als Funktion einer reellen Variablen wird sn periodisch Null, d.h. p wird periodisch unendlich, so dass p nur zwischen diesen Unendlichkeitsstellen definiert ist. Der Definitionsbereich ist also (0, 27r/w1). Wir sahen, dass mit p(x) auch p(x + w2) Lösung der Differentialgleichung ist. Wir können berechnen p(x + w2) (13-6.36) + 1 ( (X) AW2) 2 —p(X) p‘w274 p(x) — P(W2) lI (13-6.38,13-6.40) —p(x) — e3 + 4 (p(x) — e3)2 (13-6.39)—p(x) — e3 + 1 4 (p(x) — ei) (P(x) — e2)(P(x) — e3) 4 (p(x) — e3)2 (P(x) — ei) (P(x) — e2) —p(x) — e3 + (13-6.61) p(x) — e3 Für die obige Entwicklung (13-6.56) erhalten wir ‚'—e3 ei — e3 (e3 + si.,2(\ez,k) ei) (e3 + si.,2(./lee z,k) e2) p (x + w2) = —e3 e3 + sn2 Wel — e3z, k) el e3 e3 + sn2(Vez,k) e3 ei — = —2e3 sn2Wei — + (1 sn2 Wel e3z, k)) (e3 e2 + e3 e3z, k) sn2 Wel —e3 e3z, k) ) = —e1 — e2 — (e3 — e2)sn2(V'el — e3z, k) = e3 + (e2 — e3)sn2(\/el — e3z, k) (13-6.62) Gleichermaßen können wir p(x + w2) auch mittels der Darstellung (13-6.58) berechnen cn2(Vei — e3z, k) — (ei + (ei e3) s112wei e3z, k) e3 ( n2 ei + (ei e3) sn2( ei) (ei + (ei e3) sn2(,,z,k) '2) cn2( ei/.3z,k) ,k) —e1 — (ei — e3) sn2ei e3z, k) e3 cn2 Wel — e3z, k) e3) scnn22(( e _Fe cs—nnee2233((zz: kk ) ei + ei (ei ez el z3:k k csen.222( e zz :ekk3)) cn ( s n22( 11 Ie e zz w ) = —e1 — e3 + (e3 — e2) cn2(,/ei — e3z, k) = e2 — (e2 — e3) en2(?ei — e3z, k) (13-6.63) was wegen sn2 + cn2 = 1 äquivalent zu Obigem ist. Eine nützliche Reihenentwicklung der Weierstrass'schen Funktion lautet 1 7r 2 °° rizz p(z) = -+ ( ) 2 sing 2 ) n _q2q,n2n cos (4) 2w rz 2ce., n=1 (13-6.64) wobei q = e—iru2/wi 1 (7r2 q2n w = — —12 — 27r2 E - n=1 (1 + q2n)2 (13-6.65) Negative Diskriminante Für negative Diskriminante A < 0 gibt es nur eine reelle Lösung, die wir mit e2 benennen, die anderen beiden Lösungen el und e3 sind komplex konjugiert: ei. = a + iß, e3 = a — iß (aus der ersten Relation (13-6.10) folgt 2(e3) = —c3(ei) und aus der zweiten Relation in (13-6.10) erhalten wir R(e3) = R(ei)). Außerdem gilt wegen (13-6.10) e2 = —2a. Dann erhalten wir dz .V4(z — ei)(z — e2)(z — e3) dz ,V4z3 — 4(ei + e2 + e3)z2 4(ele2 + e2e3 + e3ei)z — 4e1e2e3 dz (13-6.66) ,V4z3 + 4(-3a2 + ß2)z + 8a(a2 + ß2) Wir substituieren z = e2 + B 1 + x 2B dx (13-6.67) 1 — x dz = (1 — x)2 und erhalten fu 2Bdx = (1 — x)2\/ 3 4 (-2a + Be) 4(-3a2 + ß2) (-2a +Bei) + 8a(a2 +02) /'u 2Bdx \/— (6a + B + 9,,v2) x4 + 2 (9„2"302 B) x3 + 12ax2 2 (9'2/V32 /3) x + B 6a + VVV (13-6.68) 9,2 + /32 Wählen wir B = ,V9a2 + ß2, fallen die ungeraden Potenzen von x heraus dx cp = 2B — (6a + B + 9aBE)32 ) X4 + 12CeX2 B 6a+ 9'213°2 = 2B fu dx \/— (6a + 2B) x4 + 12ax2 + 2B — 6a (13-6.69) Dies soll verglichen werden mit dx dx = — (13-6.70) \/(1 — x2)(k'2 + k2x2) •VW2 + (k2 — k'2)x2 — k2x4 wobei k2 < 1 und k2 + k'2 = 1. Wegen 6a + 2B + 2B — 6a = 4B klammern wir aus der Wurzel noch ein 4B aus 2B r dx —J (13-6.71) /3 .\/z 6a-F2 XB 4 4B X 12ce 2 + 2B-6a 4B 4B Wenn wir identifizieren k2— 6a + 2B 1+ = 3a 1 3e2 — 4B 2 2\/9a2 + ß2 2 4\/9a2 + /32 , L,2 2B — 6a 1 3a r" — 4B 2 2,V9a2 + /32 (13-6.72) 13.6. MATHEMATISCHER EINSCHUB: WEIERSTRASS'SCHE ELLIPTISCHE FUNKTIONEN199 dann besitzt dieses Integral die gewünschte Struktur (13-6.70) dx V9a2 + ß2 \/(1 — x2)(k'2 + k2x2) Daraus folgt (13-6.73) u = cn V9a4P2 ß2 (13-6.74) Somit lautet im Falle einer reellen Nullstelle die Darstellung von i 1 + cn ((9a2 + 02)-1/4 k) 1 — cn ((9a2 +02)-114v, k) wobei k durch gegeben ist. Verschwindende Diskriminante Im Falle verschwindender Diskriminante A = 0 sind alle Wurzeln e1, e2 und e3 reell. Weegen (13-6.12) ist dann ei = e2 oder e2 = e3 oder im Spezialfall ei = e2 = e3: * Falls ei = e2 e3, dann ist k = 1. In diesem Fall wird sn(z, k = 1) = tanhz. Setzen wir ei = a > 0, dann ist e3 = —2a und wir erhalten aus (13-6.56) 2) 2 (13-6.77) p(z) = 3a (tanh2 (.%/zz) 3 = 3a (coth2 (-\ctz) — ) , was für reelle z nicht periodisch ist. Dies ergibt sich auch aus cal = oo. Für den anderen Zweig p(x + w2) erhalten wir mit (13-6.62) p(x + iw2) = e3 + (e2 — e3)sn2 (N/e2 — e3x, k) = 3a (tanh2 (N/ctx) — (13-6.78) wobei W2 e3 dx 7r (13-6.79) = foo 2(x — a).Vx + 2a = 2.‘// • Dieses Ergebnis erhalten wir auch über t - J ?4x3 g2x g3 dx fp(t) dx V 4(x — ei)(x — e2)(x — e3) )(1*)P(t) dx dx 1 + p (t) .V4(x — a)2 (x + 2a) I 2(x a)\ (x + 2a) 'Vf-Larctanh V 3a ' (13-6.80) woraus folgt. Daraus erhalten/ wir auch fP(t + iw2) - 3a tanh2 ('\/t (t i 2.‘/2)) = 3a (tanh2 ('‘//,t — i — * 3a (coth2 —2 — 3) (13-6.82) wobei wir benutzten tanh(x — = coth x, was man leicht aus der Definition der Hyperbel- funktionen ersieht. 200 KAPITEL 13. EXAKTE BAHNEN IN DER SCHWARZSCHILD RAUM-ZEIT * Falls ei e2 = e3, wählen wir e2 = —a, a > 0. Dann ist ei = 2a und es ergibt sich auch g2 = a. Wegen k = 0 ist sn(x, k = 0) = sin x. Damit reduziert sich (13-6.56) auf p(x) = 3a ( 1 1 sing (N/tx) 3) was wieder periodisch ist mit der Periode 00 dx 7r 2wi = 2 f2a 2(x + x — 2a ‘Nt • Da hier w2 = oo, gibt es hier keinen anderen Zweig. Auch in diesem Fall erhalten wir dies wieder über t= dx' N/4(x' — 2a)(x' + a)2 ' arctan\p(t) — dx 1 2a 2(x' + a).\/x/ — 2a .\/, 3a Auflösen nach p(x) ergibt P( x) = tan2 (-\/;tx) + 2a = 3a ( sill2 \/tx) + 1 1) = 3a ( 1 1 cos2 (.\/tx) 3 cos2 (-\:tx) 3) (13-6.86) * Falls noch g2 = g3 = 0, dann muss sein ei = e2 = e3 = 0 und wir erhalten die nichtperiodische Funktion p(z) = 1 (13-6.87) Auch hier können wir dieses Ergebnis aus t = IP(t) dx 1 r X- dx' =(t) j(t) 3 , .N/z 2 herleiten, woraus (13-6.87) folgt. Es ist auch Iwi I = Iw21 = oo. (13-6.88) 13.6.9 Die 19-Funktion Wir definieren nun die sogenannten /9—Funktionen, die deswegen besonders wichtig sind, weil sich alle Jacobischen elliptischen Funktionen als Verhältnis zweier 9—Funktionen darstellen lassen. Die vier /9—Funktionen sind definiert durch 00 (z, 2q1 E(-1)nqn(n+1) sin((2n + 1)z) (13-6.89) n=0 oo (z, 2(11 E gn(n+1) cos((2n + 1)z) (13-6.90) n=0 oo *3(Z, q) = 1 + 2 E qn2 cos(2nz) (13-6.91) n=o 00 ?94(z, q) = 1 + 2 E(-1)ne2 sin((2n + 1)z) (13-6.92) n=0 wobei K')q = exp (-7r7 (13-6.93) der sogenannte Nome ist. 13.6. MATHEMATISCHER EINSCHUB: WEIERSTRASS'SCHE ELLIPTISCHE FUNKTIONEN201 13.6.10 Die (-Funktion Die Funktion wird definiert durch fu ((u) = u z - (P(z) - 12) dz . Es ist offensichtlich, dass damit äquivalenterweise auch 1 du —d((u) = -p(u) , lim (<"(u) - -u = 0 ->o (13-6.94) (13-6.95) ist. Die (-Funktion ist im Wesentlichen die Stammfunktion der Weierstrass'schen p-Funktion. Aus der Integration der Summendarstellung von p erhalten wir fu 1 c(u) = dz (z - 2mw1 - 2nw2)2 (2mw12nw2)2 z2 m,nez 1 1 - + u E u - 2m(.4)1 - 2nw2 2mwi + 2nw2 (2mw1 + 2nw2)2) • m,nEZ m,n00 (13-6.96) Die Funktion <- ist damit meromorph mit einfachen Polen bei 2mw1 +2nw2. Außerdem ist ungerade, ((-u) = -((u). Die (-Funktion ist keine elliptische Funktion, da sie nicht doppelt periodisch ist. Man kann jedoch eine "quasi-Periodizität" zeigen. Dafür geht man aus von (13-6.94) und erhalten 0 = p(u 2wi) - p(u) (((u - 2wi) - ((u)) . (13-6.97) = --du ((u 2w1) du((u) = du Damit ist ((u - 2wi) - C(u) =: 771 eine Konstante. Desgleichen ergibt sich ((u - 2w2) - C(u) =: 772. Setzen wir im ersten Fall u = w1 und im zweiten Fall u = w2 erhalten wir mit der Antisymmetrie der (-Funktion = 2(41) , 172 = 2((42). (13-6.98) Allgemein gilt ((u + 2n1w1 + 2n2w2) = ((u) + n1i + n2772 (13-6.99) Aus Eigenschaften der Addition der Argumente (40 + (40 - (pi) - 2(((pi) = P1(401) (13-6.100) P(S0) P(cP1) Auch gilt noch ((z1 z2) = <-(Z1) ((z2) + 1 Pi(z1) - Kj(z2) 2 (13-6.101) p(zi) - p(z2) Wir geben noch die Darstellungen der (-Funktion für die verschiedenen Werte der Diskriminante an. Positive Diskriminante Für A > 0 ist 7r 1911(e,) ((z) = z w 2w ei(e) Negative Diskriminante Für A < 0 haben wir n2 /9;.( 72e) (z) = z wz 2w2 e) (13-6.102) (13-6.103) 202 KAPITEL 13. EXAKTE BAHNEN IN DER SCHWARZSCHILD RAUM-ZEIT Verschwindende Diskriminante Für A = 0 mit ei = e2 = a ist ((z) = -az + .N/6 coth (.‘,/az) (13-6.104) und für e2 = e3 = -a ((z) = az + :tcot (-N/tz) . (13-6.105) Für ei = e2 = e3 = 0 ist ((z) = (13-6.106) 13.6.11 Die a-Funktion Die Funktion a- is definiert durch Es gilt offensichtlich a(u) = u exp fou (((z) - z I dz) . „ a(z)d ln o-(z) = ((z) , nm — = . dz z-ffl z (13-6.107) (13-6.108) Damit ist auch a(0) = 0. Die o--Funktion kann noch dargestellt werden durch a(z) = z exp (((u) - 1-11 ) du) * z exp E m,nEZ 0 1 1 u - 2rnw1 - 2nw2 du +Jo 2mw1 + 2nw2 du +Jo (2mwi + 272(4)2)2 du) * z ex E (In z - 2rnwi - 272(4)2 + z2 -2mwi - 2nw2 2mwi + 2nw2 ? 2 (2mwi 2nw2)2) p Z2 * Z H (1 2.„ + 2nw2) exp (2mw1 + 2nw2 2 (2mwi 2nw2)2 m,nEZ m,nA o- ist eine ungerade Funktion, u(-z) = -o-(z). Wie die (-Funktion ist die o--Funktion keine elliptische Funktion. Wir können aber wieder eine Quasi-Periodizität angeben. Dazu verwenden wir (13-6.99) und (13-6.108) o-i(z + o-i(z) = ((z - c(z) = (13-6.110) o -(z + a(z)• Integration ergibt Liz + = ln a(z + 2wi) a(z)(13-6.111) bzw. o -(z 2wi) = o-(z)e"±c . (13-6.112) Die Integrationskonstante c bestimmen wir durch Einsetzen von z = 4,4)=0-(_wi)e-niwi+c. (13-6.113) Da a ungerade ist, folgt ec (13-6.114) Damit erhalten wir aus (13-6.112) o -(z 2wi) = (13-6.115) Damit ist o- periodisch bis auf einen Zusatzfaktor -eni(z+"'i). Für den allgemeinen Fall lautet die quasi-Periodizität 0-(z + 2rn1c44 + 2m2w2) = (-1)mi-Fm2+7nimajmini+m2172)(z+miwi+m2wz)a(z) (13-6.116) Wir geben noch die Darstellungen der a-Funktion für die verschiedenen Werte der Diskriminante an. Positive Diskriminante Für A > 0 ist , 2w z_z2 /91(g) 0-(z) = 7r '0'1(0) Negative Diskriminante Für A < 0 haben wir /W \ 2w2 77.,_z2 „.ci 1 Z w,) o -(z) = —e2-2 7r /9'1(0) Verschwindende Diskriminante Für A = 0 mit el = e2 = a ist 1 a 2 a(z) = sinh (N/z.z) und für e2 = e3 = -a a a(z) = 1 euz2 sin (-Vriz) . )1 Für ei = e2 = e3 = 0 ist a(z) = z . 13.7 Die Exakte Lösung für eine Teilchenbahn 13.7.1 Lösung für r = Kcp) Aus (13-2.39a) erhalten wir durch Integration das elliptische Integral 1 1 i`P = dx , J 14x3 - 92x - 93 (13-7.1) was im Prinzip gelöst und dann zu einer Funktion x = x(v12) aufgelöst werden kann. Wir können das Integral als W(x) = 1 dx' J - g2x' - 93 bezeichnen. Dann ist = W(x) Die inverse Funktion U= 147-1(4(p - 99o) ist die Weierstrass'sche elliptische Funktion U = P(.99 4V0) • 2 (dP(V) = 4p3 ((p) g2 p (99) 93 dcp ) 1 1 - = u = K3(49 - (too) ä so dass 2m r(') =_L K7S0 — 2(P0) (13-7.8) Dies ist die allgemeine Moung. Diese müssen jetzt für alle möglichen Werte der Parameter Energie und Drehimpuls explizit angegeben werden. Die allgemeine Lösung beinhaltet dabei viele Fälle, insbesondere die relativistische Verallgemeinerung der Kreis—, Ellipsen—, Parabel— und Hyperbel-bahnen der Newtonschen Theorie. Diese sollen alle angegeben werden. Nach der Angabe der geometrischen Form der Bahn muss in einem zweiten Schritt der zeitliche Verlauf dieser Bahn, d.h. r = r(t) und cp = cp(t) bzw. r = r(s) und cp = y,(s) berechnet werden. 13.7.2 Lösung für s = 8(4 Wir differenzieren (13-6.100) nach (pi "(491) pi2(Vi) + A) + P(V — 2P(A) = P(49) — P(991) + (P(99) P(V1))2 Dies können wir umschreiben Y2(991) "(vi) = P(90 + sei) + P(v 901) 2P(90i (P(9c) — P(900)2 ) P(4 — PW1) Definieren wir einen Winkel vj., so dass p((pi) = g , (13-7.9) (13-7.10) (13-7.11) dann besitzt die linke Seite obiger Gleichung die Form (13-2.41). Damit kann (13-2.41) integriert werden 1 ( (P(41-+ D)24 = P'2(V1) —2 p(vi)dw I j(cp';"('',2,p1)4) = P'2(v)( ((90 02) (( 0 01)4, M 2(Pi) fp(v) — pepi)clyo). 1 P" (901) (13-7.12) In der zweiten Zeile setzen wir noch (13-6.100) ein, P(99)1f P(401) dcP (/((S°+ Soi)d(P — f ((So — S01)4 — 2 f((Soi)dcp) 1 (ln cr(99 49i) - In cr(90 - (pi) - 2C(991)99) . (13-7.13) P1991) Damit erhalten wir / (P(41+ )2c19 0,2(v1) 00 — c,02) — ((o + 46/99— 2,e(vi) 1 + p'((pi) a((p — (P1)K%01) (1n cf(w+ (P1) 2((vi)v))) Wegen x(v)) = p(e) ist f (p(„43)2 dcp = 2 f so dass die Lösung der Gleichung (13- 2.41) s(90)+ so = 2Wi) 7 ((2 V1) (pi) vp(w1)± '(9°1) (hia(e (p«vi))) 2AL KJ' 2 Pi(A) ace — (13-7.15) lautet. Die Größen pi(cpi) und p"(vi) berechnen wir wie folgt: Werten wir die Differentialgleichung (13-7.6) an der Stelle (pi aus, erhalten wir P12(991) = 4P3(Soi) — g2P(Soi) — = 421.122(E2 — 1) = 4A(Ft — 1) • (13-7.16) Differenzieren wir (13-7.6) noch einmal, 2p"(z) = 12p2(z) — 92 (13-7.17) und werten dies auch an der Stelle z = c1 aus, P"(Vi)P1(401) = 6P2(991W(991) — erhalten wir , 1 P"(991) = 6602(91)— —692 = 24m2 L2 = 2a. (13-7.18) Somit lautet die endgültige Lösung der Gleichung (13-2.41) sm+so= 2(11 cce+vo ((e 991) (pp(vo+ 13.7.3 Lösung für t = t((p) Die Partialbruchzerlegung von (13-2.42) ergibt9 Dies ergibt 11 1 1 (x + D2(x — i) = x+3+ (x + x-3 (13-7.21) dt = ÄLE ( dp 1 + dv dcp P(99)± U (P((P)+ D2 °(4 — e) was unter Verwendung von (13-7.13) und (13-7.14) wieder integriert werden kann. Dazu definieren wir einen Winkel cp2 durch und erhalten 2 P((P2) = • (13-7.23) t = ALE(fdcp dcp dcp P(V) P(901) + (60(9) 60(991))2 / PG9) 60(92) 1 = XLE(ln o-W + — lu 0-((p — 901) — 2<-(491)(P) P"(991) a(99 HP1) 2((491)S0)) V(401) p,21(,01) (G) ‘‚1) (G‚ 29960(991)ln P'(991) cs(99-991) 0,(992) (ln 0-(9P + 902) 1110-(9p (P2) 2((992)99)) 2C(CP1)99) A LE G91) KY2 (A) Cr(V (P1) (— 1 (1 'j"((P1)) (ln cr(9±`Pl) 1 2(S01) ((((9 (P1) + ((90 + vi)dp + 2999(991))KY i)) + 1 (in 0-((P — c(V 9°2)x 22((992)99)) (V2) + 402) (13-7.24) Beachten wir wieder x(cp) = p(e), dann lautet die Lösung von (13-2.42) 9Man setzt an (13-7.20) (x+D2(x_ 4) = 4 + (x+ 4)2 + x _ was drei Gleichungen für die drei zu bestimmenden Koeffizienten A, B und C gibt. Man erhält A B = 1 und C=-1. ( (, , 0-(e +(p2) K3,((,02) v'"92) 0-(e —(p2) 1 1 P"(901) 0-(e+,0) ,,,2((pi)) (cp0,01) ln a(e + 2 1(vi) (((e+,01)+«e —(p1)+(pp(A))) • Den Koeffizienten gl(cp2) bestimmen wir wieder aus der Differentialgleichung für p: 2 p'2((,02) = 4p3((,02) — g2p(c,o2) — A8 = — 4 — A) ä - 4 (22 + A — = . (13-7.26) ( Damit lautet die Lösung schließlich t(cp) = —LE — (v((992) In g(e + (P2) µ( -992)) — 1 (1 2(µ1— 1)) (K(S01) +2(µl 1) (((2 +(pi)+(ce (13-7.27) 13.8 Die Unendlichkeiten Zur Beschreibung der Bahn der Teilchen ist es wichtig zu wissen, an welchen Stellen r, s oder t unendlich werden. Diese Stellen kann man direkt aus den Lösungen ablesen (das ist analog zu der Situation im Newtonschen Fall, wo man schauen muss, bei welchen Winkeln und welchen Parametern ro/(1 + e cos c,o) unendlich wird.). 13.8.1 Die Unendlichkeiten von r Die Lösung r = r((p) wird unendlich, wenn u = 0 bzw. wenn x((,o) = wird. D.h., wenn p(v=p(,p1) ä Zcp = cpl mod(2w, 2w') . (13-8.1) Diese Singularität ist eine Polstelle. 13.8.2 Die Unendlichkeiten von s Die Funktion .s = s(cp) wird unendlich, wenn o-(e Singularitäten sind logarithmisch. D.h. o-(e cpi) = 0 13.8.3 Die Unendlichkeiten von t + = 0 oder 0-(e — cpi) = 0 werden. Diese (13-8.2) Die Funktion t = t(cp) wird unendlich, wenn o-(e +(,02) oder a(2 —cp2) oder Q(2 +A.) oder cr( —(il) verschwinden, d.h. 0-(e ± P1,2) = 0 24,0 = TS01,2 mod(2w, 22) . (13-8.3) 13.9 Diskussion der Parameter Eine sehr wichtige Größe bei der Diskussion der Lösung ist das charakteristische Polynom X(x) = 4x3 — 92x — g3 (13-9.1) und die Diskriminante 13.9.1 Das charakteristische Polynom Da das charakteristische Polynom von bc und A abhängt, schreiben wir X),,,,,(x) = 4x3 — g2x — g3 = 4x3 — 4 (-3 — A) x — 4 (-2 27 + 3 —2A — ),u) (13-9.3) Die Nullstelen dieses Polynom sind die Nullstellen des Nenners in der zu integrierenden Glg. (132.39a), d.h. die Singularitäten des Integranden. In diesem Polynom steckt sowohl das effektive Potential als auch die Energie des Systems. Wir führen nun eine ausführliche Kurvendiskussion dieses Polynoms durch: 1. Für x —> ±oo wird Xx,g(x) —> ±oo, so dass die Kurve links aus —oo kommt und nach rechts nach -Foo entschwindet. Außerdem gilt .2C),,p(x = D = 4.\ > 0, so dass im Bereich x > 3 es entweder keine oder zwei Nullstellen gibt. 2. Wir können nun zeigen, dass es keine Nullstelle im Bereich x > e gibt. Dazu verwenden wir die Funktion 4 8 1 2 X0,µ(x) = 4x3— ä x — 77 = 4 ( x + ä) (x — ä ) . (13-9.4) Es ist X0, ,,(x) < 0 die für x < , siehe Abb. 13.15. Die Differenz AX),,m(x) = X),,,,,,(x) — Xo,p(x) = 4A (x — 3 + p,) (13-9.5) ist positiv für x > e — II. Da II > 0, ist auf jeden Fall für x > e das Xx,p(x) > X0,m(x). Da X0,µ (3) = 0 und X0,µ (3) > 0 für x > 3 , muss auch Xx,p,(x) > 0 sein für x > . Damit kann Xx,g(x) keine Nullstellen im Intervall (3,00) besitzen. 3. Auch für den Bereich x < -- können wir eine Aussage machen, nämlich, dass es eine oder keine Nullstelle dort gibt. Die Ableitung dX),,ti x(x) = 12x2 — 4 (ä1 — A) (13-9.6) verschwindet bei x = 3 —1 \/1 — 3a. (13-9.7) Für A > s gibt es kein Extremum. Extrema gibt es also nur für 0 < A < 3. Diese liegen dann notwendigerweise im Interval [A, -]. D.h. in diesem Intervall liegt das lokale Maximum der Kurve, wenn sie von x = —oo kommt und auch das lokale Minimum, bevor sie wieder nach x = +oo entschwindet. Links neben dem lokalen Maximum kann aber höchstens eine Nullstelle liegen. Das da lokale Maximum aber bei x > -- liegt, kann links von x = -- nur noch höchstens eine Nullstelle liegen. (Fall es dort keine Nullstelle gibt, muss diese bei x > -auftauchen.) 4. Wir untersuchen den Punkt x = --: Dort gilt .2C),,m(x = A) = A(it — 1). Falls µ < 1, ist die Kurve Xx,m(x) in x = -- schon negativ, so dass es keine Nullstelle im Bereich x < -- geben kann. Falls bt > 1, ist Xx,p(x) in x = -- positiv, so dass es im Bereich x < -- noch eine Nullstelle geben muss. 5. Falls ) = haben wir Xx,ii(x) = 4x3 — 4 (4 — -i.t), was einer um 4 (4 — 4µ) nach oben verschobenen kubischen Kurve 4x3 entspricht. Diese hat einen Wendepunkt bei x = 0. Für bi = & geht diese Kurve auch noch durch den Nullpunkt. 208 KAPITEL 13. EXAKTE BAHNEN IN DER SCHWARZSCHILD RAUM-ZEIT Fall Diskriminante Energie Nullstellen I A > 0 p > 1 e3 < — < e2 < ei < 1 II A > 0 0 < p, < 1 — I. u < e3 < e2 < ei < u III A < 0 p > 1e2 -- , —u -- 1 , 2 g IV A < 0 0 < p, < 1 — --. 1u , ,,-,2 ---• U , Tabelle 13.1: Die Fälle für A # 0. Es sind nur x mit P(x) > 0 erlaubt. Abbildung 13.15: Das Polynom Xx,,,(x). Die gepunkteten Linien geben spezielle Polynome für den Parameter X = 0 und X = san. Der gelb unterlegte Bereich gibt die zulässigen x—Werte an. Im grau unterlegten Bereich kann das Polynom keine Werte annehmen. 13.9.2 Die Diskriminante Wir drücken die Diskriminante durch die Parameter A und fi aus A = A - 27d 3 2 43 (-31 — Ä) — 27 • 42 (-227 + —32A — Ap) _64A(2+ (2 — 9p + 7127/22) ) + 1 — (13-9.8) In Abb.13.16 ist das Gebiet in einem (A, p)—Diagramm, in dem die Diskriminante positiv ist, türkis dargestellt. Dies ist auch als Funktion des Drehimpulses ) = 1/t2 und der Energie p = E2 dargestellt, wobei £2 = L2/(2m)2 der spezifische Drehimpuls ist. Wir können nun angeben: 1. A = 0 für A = 0. 2. Die Diskriminante verschwindet ebenfalls, wenn 0= A2 + (2-9µ+ 4µ2)A+1— p (13-9.9) mit den beiden Lösungen Gebundener Orbit, bound orbit: Falls es ein a gibt mit — < a < x < e2, dann liegt ein gebundener Orbit vor (Planetenbahn). 13.10.1 Fall I (a) Charakteristisches Polynom (b Potential und Teilchenener- gie Abbildung 13.17: Fall I. (a) Die erlaubten x—Werte sind fett gekennzeichnet. (b) Teilchenenergie im Potentialbild; der fette Strich bedeutet die Energie (E2 — 1)/2. Es gibt hier zwei Bereiche mit erlaubten x—Werten: a) ei < x < +00 und b) e3 < < x < e2. Es ist A > 0 und bt > 1. Fall Ia — bound terminating orbit Der Bereich ei < x < +oo entspricht einem Bereich 0 < r < r 2m i =• (13-10.1) ei + Dies ist eine gebundene Bahn, die in der Singularität endet. (Man beachte, dass es für µ > 1 durchaus gebundene Bahnen geben kann. Dagegen ist bei ,a < 1 der Orbit notwendigerweise gebunden.) An der Stelle yo = cpi, für die p(v1/2) = ei, ist dp(v/2)/dv = 0 und damit ist auch dr(y(,) = 0. (13-10.2) dc,o cp=(pi Damit geht die Kurve tangential in den Kreis mit dem Radius ri über. Anders ausgedrückt: Bei r = ri wird ein Teilchen mit einer bestimmten Geschwindigkeit tangential losgeschossen (dabei darf die Geschwindigkeit nicht zu gross sein) und fällt danach auf den Schwarzschild—Horizont zu, durchquert ihn und fällt auf die Singularität, Siehe Abb. 13.18. Auch die umgekehrte Bahn ist eine Lösung der Bewegungsgleichung. Die Bahn gehört in dem effektiven Potential zu einer Energie, die größer als Null ist, wobei sich aber das Teilchen links von dem Potentialmaximum befindet. Diese Bahnen nennt man pseudo—elliptisch. Mit (13-6.56) lautet die Lösung explizit 2m2m sn2 Wel — e3 k) r(V) PD (+ - = 27n ei — e3 + (e3 + 4) sn2(Vei — e3 k) ei 3 3 sn2We,k) (13-10.3) mit k = Da der sn periodisch Nullstellen besitzt und betragsmäßig nicht größer als 1 ei—e2 werden kann, ist der Nenner immer positiv während der Zähler periodisch Null werden kann. Diese Bahn verläuft also im Endlichen (gebundene Bahn) und endet in der Singularität, vergl. Abb. 13.18. Fall Ib — escape orbit In diesem Fall haben wir es mit einem escape—orbit zu tun, der sich im Bereich (a) (b) (c) Abbildung 13.18: Fall I. (a) Bound terminating orbit. Diese Bahn entsteht z.B. durch einen tangentialen Abschuss beim äußeren Radius (gestrichelt) gefolgt vom Sturz in die Singularität. Der innere gestrichelte Kreis ist der Schwarzschild—Radius. (b) und (c) Escape orbits, die sich im Prinzip beliebig oft um das gravitierende Objekt winden können. bewegt. Auch hier gilt wieder dP(99) = 0 (13-10.5) 50=402 bei cp2 gegeben durch p(v2/2) = e2. Das bedeutet, dass die aus dem Unendlichen kommende Bahn den Kreis r2 tangential berührt. Die Bahnen sind Teilchen, die aus dem Unendlichen kommen, am gravitierenden Körper abgelenkt werden und wieder ins Unendliche verschwinden. Diese Bahnen nennt man quasi—hyperbolischm. Sie besitzen Newtonsche Analoga in dem Sinne, dass diese als Grenzfall aus diesen Bahnen gewonnen werden können durch kontinuierliche Änderung von Bahnparametern bei Beibehaltung von Bedingungen wie A > 0. Allerdings besitzen Bahnen, die sich hier ein— oder mehrmals um den gravitatierenden Körper herumwinden, kein Newtonsches Analogon. Das ist in der Newtonschen Theorie nicht möglich. Die explizite Darstellung lautet 2m r((p) = (13-10.6) P(e +w2) + mit der rein imaginären Halbperiode (42. Vermöge (13-6.62) können wir das durch die Jacobischen elliptischen Funktionen ausdrücken 2m 2m r(cp) — . (13-10.7) e3 + (e2 — e3)sn2 Wel — e3 k) e3 (e2 — es)s112 Wel — e3 k) Da der sn2 Werte zwischen 0 und 1 hat und e3 < 0 ist, sind nur solche Winkel cp erlaubt, für die (e2 — e3)sn2Wei — e3e, k) > —e3 — s ist. Bei den Grenzwinkeln verschwindet der Nenner, so dass der Radius r unendlich werden kann. Die Bahnen sind in Abb. 13.18 geplottet. Der Ablenkwinkel ist die Differenz der Winkel, bei denen der Radius unendlich wird. Diese Winkel sind gegeben durch 1 0 = e3 + —3 + (e2 — e3)sn2Wei — e3e, k) (13-10.8) bzw. e3 snWei — e3 k) = (13-10.9) e2 — e3 Explizit lauten diese Winkel also 2 4511,2 =F(a, k) , /ei — e3 a = arcsin e3 + e2 — e3 e2 — e3 k= el — e3 (13-10.10) Jetzt wollen wir anstelle von X und µ bzw. anstelle von el, e2 und e3 physikalisch interpretierbare Parameter auswählen, die dieses Problem ebenfalls eindeutig charakterisieren. Zunächst wählen wir 10Die Bahnen werden mit der Vorsilbe quasi belegt, wenn es wirklich Analoga der Newtonschen Bahnen sind. Die Vorsilbe pseudo besagt, dass sie im Newtonschen Fall zwar diese Bahn ergeben würden, hier jedoch vollkommen anders aussehen. r2, den kleinsten Abstand zum gravitierenden Körper. Damit haben wir schon e2 bestimmt. Als zweiten Parameter wählen wir die Energie E des einlaufenden Teilchens. Mit el = —e2 — e3 drücken wir die Invarianten (13-6.10) aus — —3 1 „„2 2 A = —= 92 = -'2 - e2e3 — e3 (13-10.11) 4 27 --1- 3 -A Ap = 3 — = —e2(e2e3 + eN) • (13-10.12) Dividieren wir die zweite Gleichung durch den gesetzen Parameter e2 und subtrahieren dies von der ersten Gleichung, erhalten wir eine Beziehung zwischen e2 und den Parametern A und µ 1 2 2 4 — — A) e2 — (27 + — Ati) = 0 , (13-10.13) womit man, bei festem den Zusammenhang zwischen e2 und A erhält. Da wir aber von vornherein e2 als einen die Bahn charakterisierenden Parameter gewählt haben, ersparen wir uns damit das Lösen dieser kubischen Gleichung. Außerdem können wir die erste Gleichung (13-10.11) nach A auflösen und in die zweite Gleichung (13-10.11) einsetzen und erhalten 2 2 8 2 4 (e2 — —3 + + e3e2 (e2 — —3 + ,u) + —2 7 + 3 — —) e2 — iLt = 0 , 3 was e3 als Funktion von e2 und µ und damit als Funktion von r2 und ,u ergibt (13-10.14) —e2 (e2 — e ,) \/4 (e2 — e i.t) 2 4 (e2 — + /1) + 2 e22 — 3) e3 = • (13-10.15) 2 (e2 — + /1) Damit haben wir die in (13-10.10) benötigten e1, e2 und e3 in Abhängigkeit von E und r2 bestimmt. Damit für m —> 0 der Wert e3 = — sangenommen wird, muss das untere Vorzeichen gewählt werden. Da die Darstellung von e2 in Abhängigkeit von r2 auch die Masse m des gravitierenden Körpers beinhaltet, können wir jetzt auch leicht eine relativistische Näherung durchführen, indem wir das exakte Ergebnis nach Potenzen von m entwickeln. Das Ergebnis ist 2E2 — 1 2m 37r E2 (2m)2 0(m3 /r2) (13-10.16) E2 — 1 r2 (16(E2 — 1)2 + 2(E2 — 1)2) 72 Mit der Darstellung E2 = 1 + Zv2 — 8v4 + 0(v6) der Energie erhalten wir das interpretierbare Ergebnis 37r + 21 + — 4v4 (2m)2 = —21 + v2 — v4 2m v2 11)4 r2 4(v2 - v4)2 (v2 1v4)2J r2 + 0(m3M) , (13-10.17) welches zeigt, dass für kleinere Geschwindigkeiten des ankommenden Teilchens der Effekt größer wird (die obige Näherung in v bricht für v —> 0 zusammen). 13.10.2 Fall II Auch hier gibt es zwei Bereiche mit erlaubten x—Werten: a) el < x < +oo und b) e3 < x < e2. Es ist A > 0 und µ < 1. Dies können nur gebundene Bahnen ergeben. Fall Ha — bound terminating orbit Dieser Fall beschreibt eine gebundene Bahn 0 < r < r 2m 1 =, (13-10.18) e1+3 mit 2m < r1, wobei wieder dr(y;i)/dv = 0 gilt. Es liegt wie im Fall Ia eine quasi—elliptische Bahn vor, d.h. ein spiralförmiges Reinfallen in das Schwarze Loch bei tangentialem Abschuss, siehe Abb. 13.20. Auch hier liegt die Bahn links vom Maximum des Effektiven Potentials, nur ist hier die Energie kleiner als was im Falle eines escape Orbits nötig wäre. Die explizite Darstellung lautet wie im Fall Ja, Glg. (13-10.3). (a) Charakteristisches Polynom (b) Potential und Teilchen- energie Abbildung 13.19: Fall II. (a) Die erlaubten x—Werte sind fett gekennzeichnet. (b) Teilchenenergie im Potentialbild. Fall IIb - bound orbit Auch hier haben wir eine gebundene Bahn vorliegen 2m 2m < < (13-10.19) e2 = r2 r r3 = e3 + • Es gilt auch hier dr((p) dr((p) 0 und 0 (13-10.20) dcp dcp e2 e3 Dies definiert die Punkte e2 nd e3 bzw. die Radien r2 nd r3. Außerdem haben wir wegen (13-6.43) d2r((p) <0 e2 und d2r(v) dq,2 > 0 . e3 (13-10.21) Die Bahn berührt also tangential die beiden Kreise r2 und r3, und zwar r3 von innen und r2 < r3 von außen. Es handelt sich um quasi-elliptische Bahnen. Den kleinsten Abstand nennt man Perihel, den größte Abstand ri das Aphel. Dies sind die exakten Bahnen für die Planeten im Gravitationsfeld der Sonne. Diese Bahnen besitzen Newtonsche Analoga. Explizit lautet die Bahn 2m r((p)= p(e w2) (13-10.22) wobei w2 die zweite (rein imaginäre) Periode der p-Funktion wie in (13-6.60) angegeben ist. Vermöge (13-6.62) kionnen wir das durch die Jacobischen elliptischen Funktionen ausdrücken 2m 2m r(v)- (13-10.23) e3 (e2 e3)sn2Wei e3e, k) e3 (e2 - ea)sn2Wei - e3 k) Der Plot ist in Abb.13.20 b) und c) zu sehen. Da der sn Werte im Intervall [-1, 1] hat und e3 > 0 ist, kann der Nenner weder Null noch Unendlich werden. Mit den Werten von yo, für die der sn = 0 bzw 1 wird, können wir (13-10.19) reproduzieren. Diese Lösung ist zu vergleichen mit der Newtonschen Ellipsenbahn (13-1.30), die wir in eine zu oben analoge Form umschreiben können ro ro ro rNewton ((P) (1340.24) 1 - e cos 1 - e - sin2 1) 1- e sin2 Wir können nun leicht den Winkel angeben um den das Teilchen gewandert ist, wenn es von Z.B. rmin wieder zu rinin zurück kommt. Dieser Winkel ist gegeben durch nfrm '" dp n e3 dc,o , fei 1 e3 1 3.99 = z —ar = z —ax = z dx = 2 dx =2wi . dr e2 dx 2 rmin e2 \/( dx e2 4x3 — g2x - g3 cb,o) (13-10.25) Dies ist i.a. verschieden von 27r, was bei der Newtonschen Planetenbewegung zu beobachten wäre. Der Unterschied zu 27r ist die Periheldrehung (a) Spirale in die Singularität (b) Planetenbahnen mit µ < 1 (c) Kometenbahn mit 1 — µ << 1 Abbildung 13.20: Fall II. (a) Das Hineinspiralisieren bei tangentialem Abschuss. Der Schwarzschild—Radius ist wieder gestrichelt. (b) Quasi—elliptische Orbits, Planetenbahnen. (c) Für 1 — p, —> 0+ wird die Quasi—Ellipse immer länger und geht für µ —+ 1 in eine quasi—parabolische Bahn über. Dabei kann ul auch durch (13-6.59) dargestellt werden K(k)1 7 dx = "Vel - e3 .Vel — e3 0 i - sin2x ei—e3 der Faktor 4 statt einem Faktor 2 vor dem w1 resultiert daraus, dass nur der halbe Winkel c,o/2 in der Weierstass'schen Funktion steht, dass also (p/2 die Periode 2w1 besitzt. Da ei. = —e2 — e3, wird die Periheldrehung zu Für eine relativistische Näherung stellt man e2 und e3 dar durch 2m 1 e2 = — — , r2 2m 1 e3 = — —3 . r3 Man setzt dies nun in die exakte Periheldrehung ein und nähert nach Ordnungen von m und erhält 6 = 37r ( + 1 m+ 37r ( 1 +29 1 + 17 7722 + 0(m3) r2 7.3) 4 273 2 r2r3 ) Üblicherweise stellt man das Resultat dar durch die große Halbachse a und die Exzentrizität e. Diese hängen mit r2 und r3 über 1 r2 r2 = a(1 — e) , r3 = a(1 + e) , a = —2(r2 + r3) e = rr33 +r2 zusammen. Damit erhalten wir 1 2m 37r 18 + e2 (2m)2 + 0(m3). 6 = 37r 1 — e2 a 8 (1 — e2)2 a2 Dies stimmt mit den üblichen Resultaten überein. Kepler—Gesetz: dazu benötigt man die Zeitdauer: andere Lösung (13-10.31) (13-10.32) 13.11 Die expliziten Lösungen für A < 0 In diesem Fall gibt es nur eine reelle Lösung e2 des Polynoms Xx,g(x). Für diese kann gelten Fall III e2 < 4 was µ > 1 entspricht, oder Fall IV < e2 < was für 0 < µ < 1 gilt. Abbildung 13.21: Fall III. (a) Die erlaubten x—Werte sind fett gekennzeichnet. (b) Teilchenenergie im Potentialbild. Abbildung 13.22: Fall III. Der Fall aus dem Unendlichen in die Singularität (der gestrichelte Kreis ist wieder der Schwarzschild—Radius). 13.11.1 Fall III Unbound terminating orbit Es gibt einen, den maximalen, Bereich A- < x < oo bzw 0 < r < +oo . (13-11.1) Diese Bahn beschreibt den Fall eines Teilchens aus dem Unendlichen in das Schwarze Loch, siehe Abb. 13.22. Im Unendlichen geht diese Bewegung asymptotisch in eine geradlinige Bahn über. Diese Bahn nennt man pseudo-hyperbolisch. In diesem Fall kann die allgemeine Lösung in Form der Weierstrass'schen fp-Funktion vermöge (13-6.75) durch die Jacobischen elliptischen Funktionen dargestellt werden r(ep) = 2m P(e; 923 93) + 2m e2 + .\/9a2 + ß3 1+en((90,2_02)-1/4 e,k) 1 1-..((9°,2_02)_1,4e,k) + 3 2m 1 - cn ((9a2 + [32)_1,4 e, k) . (13-11.2) e2 + + /9a2 + ß3 1 + N/9a2+,33—e2-1 i cn ((9(22 + 02)-1/4 e, k) .V9,2+733±e2± Veff 11 1 2 3I 13 13 r .41 IV (a) Charakteristisches Polynom (b) Potential und Teilchenenergie Abbildung 13.23: Fall IV. (a) Die erlaubten x—Werte sind fett gekennzeichnet. (b) Teilchenenergie im Potentialbild. Abbildung 13.24: Fall IV. Der spiralförmige Fall in die Singularität. 13.11.2 Fall IV Bound terminating orbit In diesem durch A < 0 und 0 < µ < 1 gegebenen Fall ist der Wertebereich für x gegeben durch 0 gilt, siehe Abb.13.16. Verschwindet die Diskriminante A, dann müssen wegen (13-6.12) zwei der drei Nullstellen zusammenfallen. Es liegt also entweder e2 = e3 oder e2 = e1 vor. Der Fall e1 = e3 kann nur dann eintreten, wenn alle drei Nullstellen zusammenfallen, e3 = e2 = el, as einen weiteren Spezialfall definiert. Diese Fälle können äquivalent durch g3 > 0, g3 < 0 und g3 = 0 charakterisiert werden. Damit liegen für A = 0 folgende Fälle vor, die wir weiter mit römischen Ziffern durchnumerieren Fall VI e2 = ei = a > 0: Dann ist wegen (13-6.10) e3 = —2a und mit (13-6.11) g2 = 12a2 und g3 = —8a3 < 0. Wegen e1 < e muss a < e und —1 < e3 sein. Hier gibt es dann noch die Unterfälle Fall VI —1 < e3 Fall VI' A- < e3 < 0. Fall VII e2 = e3 =: —a: Dann ist wegen (13-6.10) e1 = 2a > 0 und mit (13-6.11) g2 = 12a2 und g3 = 8a3 > 0. Wegen ei < e muss a < sund < e2 = e3 sein. Wir diskutieren jetzt die darauf basierenden Fälle. 13.12.1 Fall V XxA(X) Veff r 1 12 X 3 13 Va Vb (a) Charakteristisches Polynom (b) Potential und Teilchen- energie Abbildung 13.25: Fall V. (a) Die erlaubten x—Werte sind fett gekennzeichnet. (b) Teilchenenergie im Potentialbild. Falls A = 0 und ei = e2 = e3 = 0 (dann gilt auch g2 = 0 und g3 = 0 und damit auch ) = und fi = g), können wir zwei Bereiche identifizieren, a) 0 = ei < x < -roo und b) e3 < x < e2, d.h. x = 0. Fall Va — bound terminating orbit In diesem Fall kann sich das Teilchen in dem Bereich 0 < r < 6m (13-12.1) bewegen. Für diese Parameter kann die Weierstrass'sche p—Funktion durch p(z) = 1/z2 dargestellt werden, so dass 2m2myo2 r(99) = 4 1 3 = 1 • — 4+ vp2 ,p (13-12.2) Dies ist eine (algebraische) Spirale, die sich auf der einen Seite für cp —> oo asymptotisch an den Kreis mit dem Radius 2m annähert und auf der anderen in der Singularität endet, sie Abb.13.26. Mit den Spezifikationen (13-6.87), (13-6.106) und (13-6.121) ergeben sich für die Eigenzeit und Koordinatenzeit (13-7.15) und (13-7.25) zusammen mit so = 0 und to = 0 2AL ( 1 Pa(Vi) e ep) = t —2XLE (1(P2) So2 1 993"(9a1) (ln n e — ovi) ,n e + (p2 2 — 992) P'(1901) (1 -F(pi 99 (pijj gd"((pi) po lne-F,1 KY2 (V1) e — ) 1 ( 1 1 _ . + pa(tpi) e + + e — vi)) (13-12.4) und mit weiteren algebraischen Manipulationen" reduziert sich die Eigenzeit auf .4\/ip V 12) s(v) = 27-Am, ( 499 + ( P"(991) 1 (,01J91-?z. arctan 2 + \ y‚ip/(991) 3/ ' VW].) (p 2 — 12 499 2 = 27-Am((p2 + 12 95)2 +3 (p + -A arctan LWIP2) ' 1 (13-12.6) wobei wir noch ). = s eingesetzt haben und das Vorzeichen gemäß vj. = +i-A wählten. Aus 6a(v2) = —2- 1 = 2 folgt noch c,o2 = d und (p'(yo2))2 = 4p3e,o2) = p, so dass sich die Koordinatenzeit zu ,P2 1 e (p2 1 pn(vi) e ,1\ -2XLE (p,(,02) /o2 e _ ,2) p,(,1) (1 „2(4,1)) e 1 ( 1 1 + pi2(cpi) + e — + vi)) —34 ( cp iarctan 4Ao ) = —2A2m (- /-27 (•\/ 1 99+ 'd) 1 (1 4v i' V 32 399 n (p _ .VU T 2i 7/ wä(p2 -12 1 + 4 ( 4c 2,o ( ,o 3 )) —77 4 + 12 3 cp + .d) 3 11 ( cp 4ac,o -VV/, ) = —4m (71 agv, ln v) .‘,/u ± 2i •4 2 i.VJ i arctan cp2 — 12 27 ( 499 (,e, 4 V2 + 12 3 )) _ .rn\/1 8 (3 ( _ \/!ln +1 40(,o = 4 T —311 cp + \/äarctan v2 12 i 99 2 v2—.VU 4 = 8m 27 ( 4c: 011 4 cp2 + 12 3 )) 2 (7 3 .‘/U 11N/ä arctan (p42—v 9cp 12 (p2+12) 71(P 4N/n — v6 4 (13-12.7) ergibt, wobei wir das Vorzeichen beiden Qadratwurzeln so wählten, dass der cp—Term einen positiven Koeffizienten hat. Der Wert (p = .Vä entspricht r(9) = 2m, so dass die in t auftretende Unendlichkeit der üblichen Koordinatensingularität in Schwarzschild—Koordinaten entspricht. Fall Vb — bound orbit Hier ist x und damit auch der Radius konstant, und zwar r = 6m . (13-12.8) Das Teilchen vollführt eine Kreisbahn mit dem Radius 6m, d.h. dem dreifachen Schwarzschild—Radius. Dies ist ein Grenzfall von Fall Va in dem Sinne, dass das Teilchen genügend Energie besitzt, um dem Fall ins Schwarze Loch gerade noch zu entgehen. Wir berechnen nun, wie lange das Teilchen benötigt, um einmal das gravitierende Zentrum zu umrunden. Zunächst bestimmen wir die Eigenzeit. Diese ist durch Letzte stabile Kreisbahn Im Newtonschen Fall kann es stabile Kreisbahnen bei jedem Radius geben. In unserem Fall ist dies nicht mehr so. Dies kann man aus der Form des effektiven Potentials ersehen. Kreisbahnen sind ist50 11Z.B. mit z = 2iv' ±2iVN = z +12 w2 +1 502±4ZVN-12 sa 2 —12 4.N5 ist4,0+2h/N =e"P mit ,p+2iv3-buil/2 = cp2 y222 50+2iV3 2 +12 2(z/i) 4N/U et(z/i) 9772.2' so dass In Wz . . 21.‘/U = = = = arctan 2W1. 2iN/ z Sog-12 (13-12.5) (a) Spirale in die Singularität (b) Kreisbahn Abbildung 13.26: Fall V. (a) Fall Va — Der spiralisierende Fall ins Schwarze Loch aus r = 6m (Der äußere gestrichelte Kreis ist r = 6m, der innere gestrichelte Kreis der Schwarzschild—Radius r = 2m). (b) Die Kreisbahn r = 6m. durch dV,ff I dr = 0 charakterisiert, auch im Newtonschen Fall. Wie in Abschnitt 13.2.4 gezeigt, fallen beide Extrema zu einem Sattelpunkt zusammen bei dem kritischen Wert L2 = 12m2. In diesem Fall ist der Radius rkrit = r1,2 I L2 =i2m2 = 6m (13-12.9) Dieser kritische Radius ist auch der kleinste, der bei einem vorgegebenen m auftreten kann. Denn für L2 > 12m2 haben wir zwei Lösungen, bei der die kleinere instabil ist (Maximum des effektiven Potentials) und nur die größere stabil (Minimum), siehe Abb.13.6. Die Lösung r+ ist aber immer größer als rkrit r+ I L2>12m2 > rkrit • (13-12.10) Damit ist rkrit = 6m wirklich die letzte stabile Kreisbahn um einen kompakten gravitatierenden Körper. 13.12.2 Fall VI Veff A VIa VIb (a) Charakteristisches Polynom (b) Potential und Teilchen- energie Abbildung 13.27: Fall VI. (a) Die erlaubten x—Werte. (b) Teilchenenergie im Potentialbild. Falls A = 0 und ei = e2 =: a > 0 und —1 < —2a = e3 < < e2 = ei = a < < +oo ist, muss s < a < s sein und es können wieder zwei Unterfälle diskutiert werden: a) ei = a < x < +00 und b) < x < e2 = a. Fall VIa — bound terminating orbit Hier bewegt sich das Teilchen im beschränkten Bereich (a) Spirale in die Singularität (b) Spirale aus dem Unendlichen Abbildung 13.28: Fall VI. (a) Der unendich spiralisierende Fall ins Schwarze Loch. Die transzendente Pseudospirale schmiegt sich asymptotisch an eine Kreisbahn mit einem Radius zwischen 3m und 6m an. (Der innere gestrichelte Kreis ist der Schwarzschild—Radius r = 2m.). (b) Teilchen spiralisiert aus dem Unendlichen kommend auf eine Kreisbahn ein. wobei wegen 0 < a < 3 für den Radius 3m < ra < 6m gilt. Für diese Parameter kann die Weierstrass'sche p—Funktion durch (13-6.77) dargestellt werden. Wir erhalten r(y9) = 2m (13-12.12) 3a (coth2 (.,/te) — e) 2m 3a coth2 — 2a + Da der coth2 immer größer als 1 ist, kann der Nenner nicht verschwinden. Für cp = 0 wird allerdings der coth2 unendlich, so dass der Radius Null wird, das Teilchen also in die Singularität stürzt. Hierbei wird r = ra in einer unendlichen Spirale asymptotisch angenommen, d.h., das Teilchen beginnt auf einer Kreisbahn und spiralisiert nach und nach in die Singularität. Diese Bewegung wird transzendente Pseudospirale genannt und liefert Abb. 13.28. Fall VIb — unbound terminating orbit Hier kann sich das Teilchen im Bereich 2m < 2m = ra < r < oo (13-12.13) a+3 bewegen. Hierbei fällt das Teilchen aus dem Unendlichen auf das Schwarze Loch zu und spiralisiert auf die Kreisbahn mit r = ra zu wobei wieder 3m < ra < 6m. Die Darstellung der p—Funktion ergibt für diesen Fall 2m 2m, 13.12.3 Fall VI' Falls 0 = 0 und ei = e2 =: a > 0 und —3 < e3 < e2 = ei = a < 3 < +oo ist, muss auch a < s sein. Es können wieder zwei Unterfälle diskutiert werden: a) ei = a < x < +oo und b) —2a = e3 < x < = a. Fall VI'a — bound terminating orbit Das Teilchen bewegt sich im Bereich 0 < r < r3 = 2m 2m e3+3-2a+3' (13-12.15) +2 (a) Charakteristisches Polynom (b) Potential und Teilchenenergie Abbildung 13.29: Fall VI'. (a) Die erlaubten x—Werte. (b) Teilchenenergie im Potentialbild. (a) Spirale in die Singularität (b) Doppelspirale Abbildung 13.30: Fall VII. (a) Der spiralisierende Fall ins Schwarze Loch. Die transzendente Pseudospirale schmiegt sich asymptotisch an eine Kreisbahn an. (Der innere gestrichelte Kreis der Schwarzschild—Radius r = 2m.). (b) Doppelt asymptotische Kreisbahn. Eine Kreisbahn wird ddurch eine Doppelspirale asymptotisch erreicht. Fall VI'b - bound orbit Hier bewegt sich das Teilchen im Bereich 2m 2m - ra 5 r 5 r3 = a + -2a+3' wobei 2m < ra < r3 ist. Hierbei gilt wieder (13-12.16) dr (z/)) de a 0 und dr(e) de = 0 , —2a (13-12.17) d.h. die Bewegung berührt wieder tangential die Kreise ra und r3. Nach dieser qualitativen Diskussion können wir mittels (13-6.77) die Lösung auch explizit angeben r(e) 2m - (13-12.18) 3a tanh2 (,e) - 2a + • Da a < s ist, kann hier der Nenner im Gegensatz zu Fall VIb nicht mehr verschwinden. Die Bewegung bleibt endlich. Hierbei handelt es sich um eine quasi-elliptische Spirale, siehe Abb. 13.30. Für e ±oo nähert sich r(e) asymptotisch ra an. Zwischen e = -oo und e = +00 berührt die Kurve einmal r = r3 > ra. 13.12.4 Fall VII (a) Charakteristisches Polynom (b) Potential und Teilchen- energie Abbildung 13.31: Fall VII. (a) Die erlaubten x—Werte. (b) Teilchenenergie im Potentialbild. (a) Spirale in die Singularität (b) Kreisbahn Abbildung 13.32: Fall VIII. (a) Der spiralisierende Fall in die Singularität. (Der innere gestrichelte Kreis der Schwarzschild—Radius r = 2m). (b) Kreisbahn mit Radius > 6m. Fall VIIa — bound terminating orbit Der Wertebereich des Radius ist 2m 0 < r < ra = 2a + wobei 2m < ra. Es gilt wieder dr/d0 = 0 bei lp = 2a. Wir können die Darstellung (13-6.83) der Weierstrass'schen Funktion verwenden und erhalten 2m 2m= 2m sin2 P(e) 3a 1) + 3a + — a) sin2 (,q)(13 12.20) (sing( 3ax) 3 3 da a < s kann der Nenner nie verschwinden, die Bewegung bleibt endlich. Siehe Abb. 13.32. Fall VIIb — bound orbit Hier besteht der Wertebereich aus einem Punkt 2m r=1 > 6m . —a + (13-12.21) Dies sind Kreisbahnen mit einem beliebigen Radius zwischen 6m und oo, siehe Abb. 13.32. 13.13 Parabolische Orbits das Polynom Xx,/, zu 1 1) 2 1 Xx,i (X) = 4 (x + ä) ((x — u + A — i) , (13-13.1) was bedeutet, dass Xx,i(x) immer durch den Punkt x = A- gehen muss. Daher ist immer e3 = A. Für A > 1 ist dies auch die einzige Nullstelle. Parabolische Orbits besitzen keine Asymptote. 13.13.1 Fall PI (a) Charakteristisches Polynom (b) Potential und Teilchen- energie Abbildung 13.33: Fall PI. (a) Die erlaubten x—Werte sind fett gekennzeichnet. (b) Teilchenenergie im Potentialbild. Neben il = 1 gelte noch 0 < A < 1. Damit ist A > 0. Die erlaubte x—Bereich besteht somit aus a) ei < x < oo und b) A < x < e2. Fall PIa — bound terminating orbit Der Wertebereich für r ist 0 < r < ri = 2m (13-13.2) 1 el-Fu Die explizite Darstellung ist 2m sn2 Wel ± 2, k) r(v) — 2 1 U = 2m 1 P( ) + ei ± (13-13.3) und stellt eine endliche Spirale dar, siehe Abb. 13.34, und kann als pseudo—parabolischer Orbit bezeichnet werden. Fall PIb — escape orbit Hier ist der Wertebereich r2= 2m 1 rmax von außen, wobei hier der Orbit gebunden ist: Es liegt eine Doppelspirale vor, die für c,o —> ±oo sich an rmax asymptotisch annähert. A Energie Typ a b > 0 schneidet Potenti- I endliche gebundene Spirale endliche escape Spirale alwall Tabelle 13.2: Liste der Bahnklassen. Endliche/unendliche Spiralen bedeuten, dass der Orbit mit endli-chem/unendlichem Winkelintervall durchlaufen wird. Wir besprechen nun noch kurz die mit SI bis SVI bezeichneten eher uninteressante pathologoi-sche Spezialfälle: Abbildung 13.42: Fall PV. Infinite terminating orbit. Die Bahn endet auf einer Seite in der Singularität ind geht auf der anderen in einen quasi-parabolischen Orbit über. Der innere gestrichelte Kreis ist der Schwarzschild-Radius. kann. Wegen X = 0 ist A = 0 und es gibt in diesem Fall nur die Nullstellen e3 = e2 = -4 und el = 3, siehe (13-9.4) und Abb. 13.15. Die zulässigen x—Werte sind x = und x = 2 Das 3 ' bedeutet r = oo und r = 2m . (13-13.16) Da in diesem Fall wegen () dcp I dt = 0 gilt, dreht sich der Körper nicht mehr um die gravitierende Masse, sondern steht still. (Das kann man auch aus der Drehimpulserhaltung (13-2.23) L = r26ids =tonst schließen: Wenn r —> oo, dann muss dpIds —> 0.) SII: Der Randabschnitt ). = 0 und 1 < µ < oo. Auch hier gilt A = 0, e3 = e2 = — s und el = Damit liegen wieder zwei Werte r = oo und r = 2m vor. Auch hier steht die Probemasse im Unendlichen still. SIII: Der Parameterpunkt (µ = 1, A = 0). Auch hier gilt A = 0, e3 = e2 = — s und el = Damit liegen wieder zwei Werte r = oo und r = 2m vor. Auch hier steht die Probemasse im Unendlichen still. SIV: Der Grenzfall A = 0 und p —> oo. SV: Der Rand p = 0 bei beliebigen A. Wenn bi = 0 ist, sind die ) SVI: Der Ursprung Cu = 0, A = 0). 13.14 Lichtbahnen Für Lichtbahnen gelten die Gleichungen (13-2.39a) mit dem einzigen Unterschied, dass e = 0 zu setzen ist. D.h. g2 4 93 = 4 (-227 — Ap) . (13-14.1) In Bezug auf die Weierstrass'sche p—Funktion, die ja nur von g2 und g3 abhängt, haben wir also nur noch einen freien Parameter, nämlich g3 bzw. Xp. Das g2 liegt fest. Das effektive Potential reduziert sich für Lichtstrahlen auf L2 mL2 (13-14.2) Veff 2r2 r3 siehe Abb. 13.45. Das effektive Potential besitzt immer ein Maximum, welches bei rmax = 3m (1344.3) liegt. Hier nimmt das Potential den Wert Veff (rine.) = i7 ti an. Außerdem ist Veff = 0 genau beim Schwarzschild Radius r = 2m. Das charakteristische Polynom lautet III VI r (a) Lokales Maximum = absolutes Maximum > 0, 0 < X < 1; für —> 0 geht das Maximum nach oo. Veff r (b) Lokales Maximum = 0, X = Veff (c) Lokales Maximum < 0, ä < (d) Kritisches Potential, X = a<3 Veff III PV IV e) Kein lokales Maximum, s< X Abbildung 13.43: Alle Fälle noch einmal im Potentialdiagramm zusammengefasst. Man beachte Veff = 0 für r —> oo. (a) das lokale Maximum ist auch das absolute Maximum, (b) lokales Maximum ist gleich Veff (r —> oo), (c) das lokale Maximum ist kleiner als Veff (r —> oo), (d) kritischer Grenzfall, und (e) degenerierter Fall mit kleinem Drehimpuls. Aus den Diagrammen ist ersichtlich, dass A > 0, wenn die Energie das Potential zweimal schneidet, A = 0, wenn es ein Maximim oder Minimum des Potentials berührt, und A < 0, wenn die Energie das Potential einmal oder keinmal schneidet. Da sowohl > 0 als auch µ > 0, muss Ati > 0 sein. Das bedeutet, dass alle Polynome oberhalb von X0,0(x) liegen müssen. Wie aus dem Diagramm des charakteristischen Polynoms zu ersehen ist, gibt es vier verschieden Bahntypen. Diese werden wir nun besprechen. 13.14.1 Fall LI In diesem Fall ist Abi = 0 sowie 92 = 3und g3 = 27. Das charakteristische Polynom lautet Xx,m(x) = 4 (x + 1)2 (x — 2) und besitzt damit eine doppelte Nullstelle e3 = e2. Damit ist A = 0. Es gibt 3 3 u 1 Abbildung 13.44: Die verschiedenen Bahnen eingetragen in den (µ,, )t) Plot: I ist der türkise Bereich mit bt > 1 und II der entsprechende mit bt < 1. III ist der gelblich unterlegte Bereich und IV der restliche weiße Bereich. Die Grenzen A = 0 sind gekennzeichnet mit VI, VI' und VII. Der ausgezeichnete Punkt d, ist mit V benannt. Desweiteren bezeichnen IX bis XVI Bahnen, die auf den Grenzbereichen, am Rand des Parameterraumes und an speziellen Punkten liegen. Abbildung 13.45: Das effektive Potential für Lichtstrahlen. Das Maximum liegt bei r = 3m. zwei erlaubte x—Wertebereiche: a) 3 < x < oo und b) x = . Das entspricht a) 0 < r < 2m und b) x = oo . (13-14.5) Im Fall LIa lautet mit (13-6.83) die explizite Lösung mit a = 2m 2m r — = 2m sin2 (13-14.6) p(D (sin2(.‘ 1 1) 2 te) 3 Die dazugehöhrige Bahn ist in Abb. 13.48 gezeichnet. Der Fall LIb stellt einen Lichtstrahl dar, der unendlich weit vom gravitatirenden Körper verläuft, bzw. die Grenzsituation einer verschwindenden gravitatierenden Masse m —> 0. Diese Situation ist Ausgangspunkt einer relativistischen Näherung, die mit aµ « 1 gegeben ist. 13.14.2 Fall LII In diesem Fall ist 0 < Aft < 27 und es ist A > 0. Wir haben die Wertebereiche a) e1 < x < oo, wobei s < ei < und b) — s < x < e2 < Dies entspricht den Bereichen A Xx,m(x) 1 I3 Fall II Fall I X0,0 (x) Gebiet de Extrema Abbildung 13.46: Das Polynom X),,,,,(x) für Licht. Der gelb unterlegte Bereich gibt die zulässigen x—Werte an. Im grau unterlegten Bereich kann das Polynom keine Werte annehmen. Veff LIa (a) Charakteristisches Polynom (b) Potential und Lichtenergie Abbildung 13.47: Fall LI. (a) Die erlaubten x—Werte sind fett gekennzeichnet. (b) Lichtenergie im Potentialbild; der fette Strich bedeutet die Energie E2/2. Die Trajektorie LIb stellt einen physikalisch degenerierten Fall dar und verläuft im Unendlichen. Die Lösungen sind gegeben durch 2m 2m 2msn2 Wel — e3n a) r (v) == = 1 el —e3 1 2 / ö(2)+3 e3 + 3 + sn2 ( ei _e3 e ,k) el — e3 + (e3 + u) sn (vei — e3 e, k) (13-14.8) 2m 2m b) r(cp) = (13-14.9) p(e + w)+ + (e2 — e3)sn2 — e3 k) Die erste Bahn beschreibt wieder einen Fall in die Singularität, wobei das Licht tangential auf einem Radius zwischen 2m und 3m ausgesandt wird. Wegen el — e3 + e3 + s = el + s > 0 kann der Nenner nicht verschwinden. Im Fall b) ist e3 < 0, so dass der Nenner verschwinden und somit r unendlich werden kann. Dies beschreibt die Lichtablenkung antlang einer quasi—hyperbolischen Bahn, siehe Abb. 13.50. Der einzige Parameter, der die Lichtbahnen charakterisiert, ist = (2m)2E2 = (2711)2L2 (13-14.10) L2 Abbildung 13.48: Fall LIa. Licht wird im Abstand r = 2m tangential ausgesandt und fällt in die Singularität. (Der gestrichelte Kreis der Schwarzschild—Radius r = 2m). (a) Charakteristisches Polynom (b) Potential und Lichtenergie Abbildung 13.49: Fall LII. (a) Die erlaubten x—Werte sind fett gekennzeichnet. (b) Lichtenergie im Potentialbild; der fette Strich bedeutet die Energie E2/2. Abstand zwischen dem Zentrum des gravitierenden Körpers zum Lichtstrahl dar, wenn er nicht durch den gravitativen Einfluss abgelenkt würde. Dies ist der Impaktparameter. Die Aufgabe ist nun, die Nullstellen e1, e2 und e3 als Funktion von Aft darzustellen. Der erste Faktor stellt den Schwarzschild—Radius dar. Bei relativistischen Entwicklungen wird man nach diesem Schwarzschild—Radius zu entwicklen haben. Alternativ können wir auch den kürzesten Abstand r2 des Lichstrahls zum gravitierenden Körper als Parameter wählen. Dann kann sofort e2 durch r2 ersetzt werden: e2 = A. Hierin stellt das 2m den Schwarzschild—Radius dar, nach dem relativistisch zu entwickeln ist. Hier besteht die Aufgabe darin, die el und e3 als Funktion von diesem vorgegeben e2 anzugeben. Dies tun wir jetzt. Wir verwenden nun die drei Gleichugen (13-6.10), um el und e3 als Funktion des e2 und dieses als Fnktion von Abi darzustellen. Aus der ersten Gleichung folgt e3 = — (ei e2), was wir in die anderen beiden einsetzen eie2 — (e2 ei.)2 = —e1 — e1e2 — e2 = g2 3 = — (13-14.11) 4 g3 2 eie2e3 = —eie2(ei e2) = —e2 (ei eie2) = z = -27 — Abt (13-14.12) Die erste Gleichung gibt 13.14. LICHTBAHNEN 233 (a) Licht fällt in die Singularität (b) Lichtablenkung (c) Lichtablenkung mit mehrfa- chem Umlauf Abbildung 13.50: Fall LII. (a) Fall LIIa — Licht wird im Abstand r = 2m tangential ausgesandt und fällt in die Singularität. (Die gestrichelten Kreis bezeichnen den Schwarzschild—Radius r = 2m und den Radius r = 3m). (b) Lichtablenkung. (c) Bei der Lichtablenkung kann das Licht mehrmals das gravitierende Zentrum umrunden. (da für m = 0 der Wert el = e herauskommen soll, gilt nur das obere Vorzeichen), so dass auch e2 \/1 3 , m 1 e3 = —ei — = —2 3 —4e§ = —r2 + 6 — Subtraktion der zweiten von der ersten führt auf 1 m 3m2 — — 4 r2rz (13-14.16) _3 2 e2 3 e2 ( 27 — u womit man prinzipiell den Parameter Abt in r2 umrechnen könnte, was wir aber nicht brauchen. Damit haben zusammen m 1 el =r2u —a + 1 m 3m2 2m 1 m 1 4+r2 —r2 e2= — —3, e3 = — 2 r2r2 6 1 m 3m2 + rz - r2 . (13-14.18) Der Ablenkwinkel ist die Differenz der beiden Winkel, für die der Nenner verschwindet: sn (Vei — e3 k) = e3 + e2 — e3 • (13-14.19) Gemäß Definition des sn, Glg. (13-5.2) und (??), erhält man also für die beiden Winkel vi und 4,02 2farcsin \ .2 - .3 dO = ± 2 e3 + (,01,2 = ± F (a, k) , a = arcsin N/ei — e3 L .vi - k2 sin2 0 N/e1 — ea e2 — ea (13-14.20) was sich vollständig durch den Parameter r2 ausdrücken läßt. Damit ergibt sich für den Ablenkwinkel 4 Acp = 201 =e3 F k) , wobei wir noch berechnen sin a = e3 e2 — e3 (13-14.21) m 3m2 e2 e3 r2 2+3m 1 \711. r2 k2 ei — ea 2.V14 + — 37: e3 m 1 1 mr2 2 \/ 4 r2 r2 e2 — e3 3m 1+ m 3m2 r2 2 4 r2 Dmit ist der Ablenkwinkel explizit als Funktion des minimalen Abstandes r2 dargestellt. Dies ist das exakte Resultat. Dies kann damit für eine relativistische Näherung auch nach 2m entwickelt werden. Dazu führen wir eine relativistische Näherung bis zur zweiten Ordnung in m durch. Wir erhalten 4m 12m2 k2 = 2 + 0(m/r2)3 (13-14.24) r2 r2 2 , e3 7. 9 u 1 171 7T/ (13-14.25) e2 — e3 2 _. 2 - 2 (9(m/r2)3 arcsin 1 2 e3 T e3 2r M2 Trt = 4 0(m/r2)3 (13-14.26) e2 — Setzen wir das in das exakte Resultat ein und nähern bis zur zweiten Ordnung in m, dann erhalten wir 2 4 m 771 Acp = — — (4 + 157r) + 0(m/r2)3 (13-14.27) r2 r2 Mit algebraischen Rechenprogrammen kann das beliebig verbessert werden. Die übliche Darstellung verwendet statt r2 den Impaktparameter. Dazu muss man (13-14.17) nach e2 bzw. nach r2 auflösen. Man kann diese Gleichung geschlossen lösen, zum Vergleich mit der üblichen Näherhgsformel genügt uns aber auch die genäherte Lösung. Diese lautet 1 Em E2 m2 e2 = —ä + 2 2 0(m3) (13-14.28) woraus L r 2 — - m folgt. Setzt man dieses r2 in (13-14.27) ein, ergbt sich das übliche Resultat. 13.14.3 Fall LIII (13-14.29) Veff LIIIa LIIIb (a) Charakteristisches Polynom (b) Potential und Lichtenergie Abbildung 13.51: Fall LIII. (a) Die erlaubten x—Werte sind fett gekennzeichnet. (b) Lichtenergie im Potentialbild; der fette Strich bedeutet die Energie E2/2. Hier ist Att = 7, so dass g2 = 1 und g3 = 2 —1 Das charakteristische Polynom lautet Xx,g(x) = 4 (x + 2) (x — 1) . Die Nullstellen sind e3 = _e und e2 = e1 = so dass A = 0. Die Wertebereiche sind a)%- < x < oo und b) A- < x < s , was den Abständen a) 0 < r < 3m und b) 3m < roo (13-14.30) entspricht. Die expliziten Lösungen lauten mit (13-6.77), (13-6.78) und a = a) r (cp) = 2m = 2m = 2m (13-14.31) + I. u p(e) + 3a (coth2 (.\/,2) _ 2) 2 u coth2 2 — 4 . 2m 2m 2m b) r((p) = = = (13-14.32) P(e + w2) + ul 3a (tanh2 (N/ID — D 1 + tanh2 e _ Dies sind Lichtbahnen, die sich in einer unendlichen Spirale asymptotisch an den Kreis mit dem Radius r = 3m annähern. Die eine Lichtbahn endet in der Singularität, die andere kommt aus dem Unendlichen, siehe Abb. 13.52. Im Fall b) ist der Definitionsbereich von cp halbseitig beschränkt und zwar auf das Intervall, für das tanh2 2 > 1, d.h. 99 > 2Arctanh oder (,,o < —2Arctanh. 2 3 v3 v3 (a) Ausspiralen aus r = 3m (b) Einspiralen auf r = 3m Abbildung 13.52: Fall LIII. (a) Fall LIIIa - Die Lichtbahn endet in der Singularität und schmiegt sich asymptotisch an den Kreis mit dem Radius r = 3m an. (Die gestrichelten Kreise haben wieder die Radien r = 2m und r = 3m). (b) Fall LIIIb - Licht kommt aus dem Unendlichen und spiralisiert asymptotisch auf die Kreisbahn r = 3m ein. 13.14.4 Fall LIV (a) Charakteristisches Polynom Abbildung 13.53: Fall LIV. (a) Die erlaubten x-Werte sind fett gekennzeichnet. (b) Lichtenergie im Potentialbild; der fette Strich bedeutet die Energie E2/2. In diesem Fall ist f7 < Xf.t. Es gibt nur eine Nullstelle, so dass A < 0. Der zusammenhängende Wertebereich ist — s < x < oo, d.h. 0 < r < oo , (13-14.33) was einem Lichtstrahl entspricht, der aus dem Unendlichen in die Singularität fällt. Die explizite Lösung lautet r(,o) = WD+ • Dies ist eine quasi—hyperbolische Bahn, siehe Abb. 13.54. 13.14.5 Kreisbahnen Mit Hilfe der obigen Geodätengleichung in Form von (13-2.39a) können wir leicht angeben, bei welchem Radius Licht eine Kreisbahn um ein Schwarzes Loch beschreibt. Eine Kreisbahn ist durch einen konstanten Radius r charakterisiert. Wir setzen also dr/da = 0 ein und erhalten eine Bedingungsgleichung für r bzw. E2 L2 u — — — — gtt r2 L2 A2 = gu_ r2 (13-14.35) (13-14.36) Da wir hier keine Angabe der Konstanten E und L machen können, müssen wir diese eliminieren. Der Trick besteht darin, diese Gleichung zu differenzieren und durch L2 zu dividieren: Hierin setzen wir das gtt der Schwarzschild—Metrik ein und erhalten r = 3m. (13-14.38) Dies ist der einzige Radius, bei dem Licht eine Kreisbahn um das Schwarze Loch beschreiben kann. 13.14.6 Zusammenfassung Da es nur ein einziges Potential gibt (es gibt keine Minima und Maxima, die sich verändern können), können wir alle Fälle in einem einzgen Diagramm zusammenfassen, siehe Abb. 13.55. Veff LIV LIII LII LI Abbildung 13.55: Fall LII. Mögliche Energien der Lichtstrahlen. 13.15 Der post—Newtonsche Grenzfall Wir wollen nun die Lösungen in eine Reihe entwickeln, wobei der wesentliche Entwicklngsparameter durch das Verhältnis zwischen Schwarzschild—Radius und Abstand, m/r-Gm/(c2r) gegeben ist. Dies entspricht dem Newtonschen Potential. Dieser Entwicklungsparameter ist nur dann klein, wenn der Abstand zwischen dem Teilchen und dem gravitierenden Zentrum groß ist. Das schließt die Bahnen Ia, Ha, IV, V, VIa, VIIa, VIIIa, Pla, PIIa von vornherein aus. Andere Bahnen können nur für Abschnitte, die weit weg von der Singularität sind, post—Newtonsch behandelt werden; dies sind die Bahnen III, PIII, PIV, PV. Die Bahnen Ib, Hb, VIb, VIIb, VIIIb, PIb, PIIb sollten aus jeden Fall post—Newtonsch behandelt werden önnen, auch wenn sie teilweise bis an das Potentialmaxium, welches in der Nähe des Schwarzschild—Radius liegt, herankommen. Dann wird man die Entwicklung entsprechend weit treiben müssen. Die Funktionen, die bei den zu diskutierenden Lösungen eine wesentliche Rolle spielen, sind der sn (Ib, Hb, PIb), tanh (VIb, VIIb, PIIb) und die Konstante (Kreisbahn, VIIIb). ((Hier noch nicht klar, da negative Diskriminante III, PIII, PIV, PV))