Euklidische Geometrie und
Mathematik
von D.Selzer-McKenzie
Euklidische Geometrie und Mathematik
- Buch von Selzer-McKenzie SelMcKenzie
„Euklidische Geometrie und Mathematik“
von D.Selzer-McKenzie
Ein Titelsatz für diese Publikation
ist bei der Deutschen Staatsbibliothek hinterlegt.
Originalausgabe ®Euklidische Geometrie
und Mathematik
® 2012 by D.Selzer-McKenzie
(Dr.of Molekularbiology and Genetics)
published by SelMcKenzie Media
Publishing
-auch als Hörbuch und eBook (ePUB)
ISBN 978-1-291-17148-7, €uro 7,80 --- 982
Seiten
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Euklid von Alexandria (altgriechisch Εὐκλείδης Eukleidēs; latinisiert Euclides; ca. 360 c.Chr. bis ca. 280 v.Chr) war ein griechischer Mathematiker.
Die überlieferten Werke umfassen sämtliche Bereiche der antiken griechischen Mathematik: das sind die theoretischen Disziplinen Arithmetik und Geometrie (Die Elemente,
Data), Musiktheorie (Die Teilung des Kanon), eine methodische Anleitung zur Findung von planimetrischen Problemlösungen von bestimmten gesicherten Ausgangspunkten aus (Porismen) sowie die physikalischen bzw. angewandten Werke (Optik, astronomische Phänomene).
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In seinem berühmtesten Werk Die Elemente (althriechisch Στοιχεῖα Stoicheia
„Anfangsgründe, Prinzipien, Elemente“; vermutlich um 325 v.Chr entstanden) trug er das Wissen der griechischen Mathematik
seiner Zeit zusammen. Er zeigte darin die Konstruktion geometrischer Objekte, natürlicher Zahlen sowie bestimmter Grössen
und untersuchte deren Eigenschaften. Dazu benutzte er Definitionen, Postulate (nach Aristoteles Grundsätze, die akzeptiert oder
abgelehnt werden können) und Axiome (nach Aristoteles allgemeine und
unbezweifelbare Grundsätze). Viele Sätze der Elemente
stammen offenbar nicht von Euklid selbst. Seine Hauptleistung besteht vielmehr in der Sammlung und einheitlichen Darstellung des
mathematischen Wissens sowie der strengen Beweisführung, die zum Vorbild für die
spätere Mathematik wurde.
Über das Leben des griechischen Mathematikers Euklid ist wenig bekannt. Man nimmt an, dass er um das Jahr 360 v. Chr. vermutlich in Athen geboren wurde und dort seine Ausbildung an Platons Akademie erhielt. Höchstwahrscheinlich hat er während der Regierungszeit von Ptolemaios (möglicherweise auch noch während der von Ptolemaios II) in Alexandria gelebt und dort Mathematik gelehrt. Berühmt wurde Euklid durch 13 Lehrbücher, in denen er das damalige Wissen zur Mathematik zusammengefasst hat. Die Elemente,
wie diese Bücher genannt werden, sind die erfolgreichsten Mathematikbücher aller Zeiten. So wurden Übersetzungen dieser Bücher z. B. in England noch im 19. Jahrhundert als offizielle Schulbücher für die Geometrie benutzt.
Über Euklid erzählt man sich viele Anekdoten: Ein Schüler fragte,
als er den ersten Satz gelernt hatte: „Was kann ich verdienen, wenn ich diese Dinge lerne?“ Da rief Euklid seinen Sklaven und sagte: „Gib ihm drei Obolen, denn der arme Mann muss Geld verdienen mit dem, was er lernt.“
Pharao Ptolemaios fragte einmal Euklid, ob es nicht für die Geometrie einen kürzeren Weg gebe als die Lehre der Elemente.
Er aber besaß den Mut zu antworten, dass es zur Geometrie keinen Königsweg gebe. Auch ein König müsse sich wie jeder andere Mensch „auf den Hosenboden setzen“, wenn er die Mathematik verstehen wolle.
Der Mondkrater Euclides und der Asteroid (4354)Euclides sind nach ihm benannt.
Jahrhundert hinein Grundlage des
Geometrieunterrichts, vor allem im angelsächsischen Raum.
Neben der pythagoreischen Geometrie enthalten Euklids Elemente in Buch VII-IX die pythagoreische Arithmetik, die Anfänge
der Zahlentheorie (die bereits Archytas kannte) sowie die Konzepte der Teilbarkeit und des grössten gemeinsamen Teilers. Zu dessen Bestimmung fand er einen Alhorihmus, den Euklidischen Alhorithmus. Euklid bewies auch, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, nach ihm Sartz
des Euklid genannt. Auch Euklids Musiktheorie baut auf der Arithmetik auf. Ferner enthält das Buch V die Proportionslehre des Eudoxos, eine Verallgemeinerung der Arithmetik auf positive irrationale Grössen.
Veranschaulichung von Euklids fünftem
Postulat Das bekannte fünfte Postulat der ebenen
Euklidischen Geometrie (heute Parallelaxiom genannt) fordert: Wenn eine Strecke s beim Schnitt mit zwei Geraden g und h bewirkt, dass die innen auf derselben Seite von s entstehenden Winkel α und β zusammen kleiner als zwei rechte Winkel sind, dann treffen sich die beiden Geraden g und h auf eben der Seite von s, auf der die Winkel α und β liegen. Schneiden also zwei Geraden eine Strecke (oder Gerade) so, dass die auf einer Seite von der Strecke und den zwei Geraden eingeschlossenen zwei Winkel kleiner als 180° sind, dann schneiden sich die beiden Geraden auf dieser Seite und begrenzen zusammen mit der Strecke (oder dritten Geraden) ein Dreieck.
Für die Wissenschaftsgeschichte ist die Beschäftigung mit dem Parallelenaxiom von großer Bedeutung, weil sie viel zur Präzisierung
mathematischer Begriffe und Beweisverfahren beigetragen hat. Im Zuge dessen wurde im
19. Jahrhundert auch die Unzulänglichkeit der Euklidischen Axiome offenkundig. Eine formale
Axiomatik der Euklidischen Geometrie findet sich in David Hilberts Werk Grundlagen der Geometrie (1899), das zu vielen weiteren Auflagen und
anschließenden Forschungen geführt hat. Darin wird zum ersten Mal ein vollständiger Aufbau der Euklidischen Geometrie geleistet, bis zu der
Erkenntnis, dass jedes Modell des Hilbertschen Axiomensystems isomorph zum dreidimensionalen reellen Zahlenraum mit den üblichen Deutungen der geometrischen
Grundbegriffe (wie Punkt, Gerade, Ebene, Länge, Winkel, Kongruenz, Ähnlichkeit usw.) in der Analytischen Geometrie ist. Schon seit der Antike
versuchten viele bedeutende Mathematiker vergeblich, das Parallelenaxiom mit den übrigen Axiomen und Postulaten zu beweisen (es wäre
dann entbehrlich). Erst im 19. Jahrhundert wurde die Unverzichtbarkeit des Parallelenaxioms mit der Entdeckung einer Nichteuklidischen Geometrie
durch Bolyai und Lobatschewski klar. Die Poincaré'sche Halbebene H (Henri Poincare) ist ein Modell für ein solches Axiomensystem, in dem
das Parallelen-Axiom nicht gilt. Somit kann das Parallelenaxiom nicht aus den übrigen Axiomen
gefolgert werden.
In Euklids musiktheoretischer Schrift Die Teilung des Kanon (griech. Katatomē
kanonos, lat. Sectio canonis) die als authentisch einzustufen ist, griff er die Musiktheorie des Archytas auf und stellte sie auf eine solidere akustische Basis, nämlich auf Frequenzen von Schwingungen (er sprach von Häufigkeit der Bewegungen). Er verallgemeinerte dabei den Satz des Archytas über die Irrationalität der Quadratwurzel
und bewies ganz allgemein die Irrationalität beliebiger Wurzeln
. Der Grund für diese geniale Verallgemeinerung ist seine Antithese gegen die Harmonik desAristoxenos, die auf rationalen Vielfachen des Tons (Halbton ... n-tel-Ton) aufbaut. Denn in der pythagoreischen Harmonik hat der Ton (Ganzton) die Proportion 9:8, was Euklid zu seiner Antithese „Der Ton ist weder in zwei noch in mehrere gleiche Teile teilbar“ veranlasste; sie setzt allerdings kommensurable Frequenzen voraus, die in der pythagoreischen Harmonik bis zum Ende des 16. Jahrhunderts (Simon Stevin) angenommen wurden. Die Antithese „Die Oktave ist kleiner als 6 Ganztöne“ stützte er auf die Berechnung des pythagoreischen Kommas. Ferner enthält Euklids Teilung des Kanons – wie ihr Titel signalisiert – die älteste überlieferte Darstellung eines Tonsystems am Kanon,
einer geteilten Saite, und zwar eine pythagoreische Umdeutung des vollständigen diationischen Tonsystems des Aristoxenos, das die Harmonie des Philolaos erweitert. Euklids
Tonsystem wurde zur Grundlage des modernen Tonsystems mit der heute üblichen Bezeichnung durch die Tonbuchstaben Odos.
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