Sportwetten – wissenschaftlich wetten und Nur Noch Gewinnen
Author Dr. D. Selzer-McKenzie
Youtube: https://youtu.be/zdHDKFK5GOI
Werte Wett-Enthusiasten, Roulette-Spieler und Pferdewettfreunde,
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Dazu möchte ich heute nochmals sagen, ich bin kein Hellseher sondern koche auch nur mit Wasser. Mein Handwerk habe ich an der Harvard-University in Boston, USA gelernt, wo ich damals meine Promotion gemacht habe und auch zeitweise danach noch als Dozent tätig war.
Meine Erfahrungen beruhen auch auf die gemeinsame Arbeit mit meinem alten Freund, dem hochdekoriertem Wissenschaftler Roger Penrose.
Ich sagte es bereits, ich koche auch nur mit Wasser und die Prognosen, die fast immer treffend sind, werden mit der
Lorentz-Transformation der Zeit-Koordinaten
Der Neutrinos-Wissenschaft
Der Andromeda Paradoxon
Im voraus berechnet und daher kommen eben die dauernden Treffer.
Ich füge Ihnen nachstehend zur eigenen Einarbeitung ein paar Auszüge bei, falls Sie selbst die Technik zum Zwecke des dauernden Gewinnens erlernen wollen
Ebenfalls habe ich in diesem Video die wissenschaftlichen Berechnungsformeln im Videobild vergrössert, wonach Sie alles berechnen können.
Es ist Unsinn, dass Zufälle wie Roulette oder Fussballwetten nicht berechenbar wären.
Die Neutrinos-Wissenschaft steckt zwar derzeit noch etwas in den Kinderschuhen, aber wenn sie gemessen ist, wird sich die Welt nochmals ganz dramatisch verändern, weil da enorme Entwicklungen und Möglichkeiten eröffnet werden.
Ich behaupte heute, eigentlich schon seit 10 Jahren, in etwa ab 2030 wird es kein Roulette, kein Lotto und auch kein Wetten mehr geben, weil alles vorausberechnet werden kann. Deshalb sollten Sie jetzt in Zeiten der Dämmerung noch die Gelegenheit beim Schopfe packen und bei diesen Glücksspielen, die in Wahrheit garkeine Glücksspiele sind, zugreifen, bevor es sie nicht mehr geben wird.
Lorentz-Transformation
Die Lorentz-Transformationen, nach Hendrik Antoon Lorentz, sind eine Klasse von Koordinatentransformationen, um in der Physik Phänomene in verschiedenen Bezugssystemen zu beschreiben. Sie verbinden in einer vierdimensionalen Raumzeit die Zeit- und Ortskoordinaten, mit denen verschiedene Beobachter angeben, wann und wo Ereignisse stattfinden. Die Lorentz-Transformationen bilden daher die Grundlage der Speziellen Relativitätstheorie von Albert Einstein.
Das Äquivalent zu den Lorentz-Transformationen im dreidimensionalen euklidischen Raum sind die Galilei-Transformationen; genauso wie diese Abstände und Winkel erhalten, erhalten die Lorentz-Transformationen die Abstände in der nichteuklidischen Raumzeit (Minkowskiraum). Winkel werden im Minkowskiraum nicht erhalten, da der Minkowskiraum kein normierter Raum ist.
Die Lorentz-Transformationen bilden eine Gruppe im mathematischen Sinn, die Lorentz-Gruppe, da zu jeder Lorentz-Transformation eine inverse Transformation existiert, die wieder in das ursprüngliche Bezugssystem zurück transformiert, die Hintereinanderausführung von Lorentz-Transformationen als eine einzige Lorentz-Transformation beschrieben werden kann, und der triviale Wechsel von einem Bezugssystem in dasselbe ebenfalls eine Lorentz-Transformation ist.
Unterklassen der Lorentz-Transformationen sind die diskreten Transformationen der Raumspiegelung, also der Inversion aller räumlichen Koordinaten, sowie der Zeitumkehr, also die Umkehr des Zeitpfeils, und die kontinuierlichen Transformationen der endlichen Drehung sowie der speziellen Lorentz-Transformationen oder Lorentz-Boosts. Kontinuierliche Drehbewegungen der Koordinatensysteme gehören nicht zu den Lorentz-Transformationen. Teilweise werden auch nur die speziellen Lorentz-Transformationen verkürzend als Lorentz-Transformationen betitelt.
Definition
Bestandteile der Lorentz-Transformation
Die Lorentz-Transformation umfasst alle linearen Transformationen der Koordinaten zwischen zwei Beobachtern. Sie sind daher Transformationen zwischen zwei Inertialsystemen, deren Koordinatenursprung, der Bezugspunkt des Koordinatensystems zum Zeitpunkt t = 0 {\displaystyle t=0} t=0, übereinstimmt. Eine allgemeine Lorentz-Transformation umfasst daher
Transformationen zwischen zwei Beobachtern, die eine unterschiedliche, konstante Geschwindigkeit besitzen, genannt Lorentz-Boost oder spezielle Lorentz-Transformation.[1] Sie entsprechen einer Drehung im Raum-Zeit-Sektor des nichteuklidischen Minkowskiraums.
Drehungen der räumlichen Koordinaten
Zeit- und Raumspiegelungen
Jede allgemeine Lorentz-Transformation lässt sich als Hintereinanderausführung dieser Transformationen schreiben. Eine Lorentz-Transformation, bei der Spiegelungen ausgeschlossen sind und die Orientierung der Zeit erhalten ist, wird als eigentliche, orthochrone Lorentz-Transformation bezeichnet.
Spezielle Lorentz-Transformation für Orte und Zeiten
Ist ein Beobachter mit konstanter Geschwindigkeit v {\displaystyle v} v in x {\displaystyle x} x-Richtung gegenüber einem anderen Beobachter bewegt, so hängen die Koordinaten ( t ′ , x ′ , y ′ , z ′ ) {\displaystyle \textstyle (t',x',y',z')} {\displaystyle \textstyle (t',x',y',z')}, die er einem Ereignis zuschreibt, durch die spezielle Lorentz-Transformation
t ′ = γ ( t − v c 2 x ) , x ′ = γ ( x − v t ) , y ′ = y , z ′ = z {\displaystyle t'=\gamma \left(t-{\frac {v}{c^{2}}}\,x\right),\quad x'=\gamma (x-v\,t),\quad y'=y,\quad z'=z} {\displaystyle t'=\gamma \left(t-{\frac {v}{c^{2}}}\,x\right),\quad x'=\gamma (x-v\,t),\quad y'=y,\quad z'=z}
mit den Koordinaten ( t , x , y , z ) {\displaystyle (t,x,y,z)} (t,x,y,z) des anderen Beobachters für dasselbe Ereignis zusammen, falls die beiden Bezugssysteme zum Zeitpunkt t = t ′ = 0 {\displaystyle \textstyle t=t'=0} {\displaystyle \textstyle t=t'=0} miteinander übereinstimmen. Darin ist γ = 1 1 − v 2 / c 2 {\displaystyle \textstyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}} {\displaystyle \textstyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}} der Lorentzfaktor.
Die Arbeiten von Woldemar Voigt (1887), Hendrik Antoon Lorentz (1895, 1899, 1904), Joseph Larmor (1897, 1900) und Henri Poincaré (1905), zeigten, dass die Lösungen der Gleichungen der Elektrodynamik durch Lorentz-Transformationen aufeinander abgebildet werden oder mit anderen Worten, dass die Lorentz-Transformationen Symmetrien der Maxwell-Gleichungen sind.
Man versuchte damals, die elektromagnetischen Phänomene durch einen hypothetischen Äther, ein Übertragungsmedium für elektromagnetische Wellen, zu erklären. Es stellte sich allerdings heraus, dass sich von ihm keine Spur nachweisen ließ. Voigt stellte 1887 Transformationsformeln vor, welche die Wellengleichung invariant lassen. Die Voigt-Transformation ist jedoch nicht reziprok, bildet also keine Gruppe. Voigt nahm an, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen im Ruhesystem des Äthers und in einem Bezugssystem, das sich relativ zu diesem mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, gleich ist, ohne dafür eine Erklärung anzugeben.[2] In seiner Äthertheorie konnte Lorentz dies dadurch erklären, dass die Längenmaßstäbe sich bei Bewegung in Bewegungsrichtung verkürzen und dass bewegte Uhren eine langsamer verlaufende Zeit anzeigen, die er Ortszeit nannte. Die von Lorentz angegebenen Transformationen der Längen und Zeiten bildeten eine Gruppe und waren damit mathematisch stimmig. Auch wenn in Lorentz’ Äthertheorie eine gleichförmige Bewegung gegenüber dem Äther nicht nachweisbar war, hielt Lorentz an der Vorstellung eines Äthers fest.
Einsteins spezielle Relativitätstheorie löste Newtons Mechanik und die Ätherhypothese ab. Er leitete seine Theorie aus dem Relativitätsprinzip ab, dass sich im Vakuum unter Vernachlässigung von gravitativen Effekten Ruhe nicht von gleichförmiger Bewegung unterscheiden lässt. Insbesondere hat Licht im Vakuum für jeden Beobachter dieselbe Geschwindigkeit c {\displaystyle c} c. Die Zeit- und Ortskoordinaten, mit denen zwei gleichförmig bewegte Beobachter Ereignisse bezeichnen, hängen dann durch eine Lorentz-Transformation miteinander zusammen, statt wie in Newtons Mechanik durch eine Galilei-Transformation.
Eigenschaften
Geschwindigkeitsaddition
→ Hauptartikel: Relativistisches Additionstheorem für Geschwindigkeiten
Zwei hintereinander ausgeführte Lorentz-Boosts in dieselbe Richtung mit Geschwindigkeit v 1 {\displaystyle v_{1}} v_{1} und v 2 {\displaystyle v_{2}} v_{2} ergeben wieder einen Lorentz-Boost mit der Gesamtgeschwindigkeit
v c = v 1 c + v 2 c 1 + v 1 c ⋅ v 2 c . {\displaystyle {\frac {v}{c}}={\frac {{\frac {v_{1}}{c}}+{\frac {v_{2}}{c}}}{1+{\frac {v_{1}}{c}}\cdot {\frac {v_{2}}{c}}}}.} {\displaystyle {\frac {v}{c}}={\frac {{\frac {v_{1}}{c}}+{\frac {v_{2}}{c}}}{1+{\frac {v_{1}}{c}}\cdot {\frac {v_{2}}{c}}}}.}
Die Gleichung zeigt, dass sich die Lichtgeschwindigkeit bei Lorentz-Transformationen nicht ändert. Ist etwa v 1 {\displaystyle v_{1}} v_{1} die Lichtgeschwindigkeit, das heißt v 1 c = 1 {\displaystyle {\tfrac {v_{1}}{c}}=1} {\displaystyle {\tfrac {v_{1}}{c}}=1}, so ist v = c 1 + v 2 / c 1 + v 2 / c = c {\displaystyle v=c{\tfrac {1+v_{2}/c}{1+v_{2}/c}}=c} {\displaystyle v=c{\tfrac {1+v_{2}/c}{1+v_{2}/c}}=c} ebenfalls die Lichtgeschwindigkeit.
Hintereinander ausgeführte Lorentz-Boosts in verschiedene Richtungen ergeben im Allgemeinen keine Lorentz-Boosts, sondern eine allgemeine Lorentz-Transformation: Die Menge der Lorentz-Boosts ist keine Untergruppe der Lorentz-Transformationen.
Lorentz-Invariante
Eine Größe, die sich bei Lorentz-Transformationen nicht ändert, heißt Lorentz-Invariante oder Lorentz-Skalar. Bei einem physikalischen System oder Vorgang beschreibt eine Lorentz-Invariante eine Eigenschaft, die von allen Inertialsystemen aus mit gleichem Wert beobachtet wird, wie z. B. die Lichtgeschwindigkeit c {\displaystyle c} c, die Masse m {\displaystyle m} m, die Teilchenzahl, die elektrische Ladung etc.
Bei einem Lorentz-Boost in Richtung x {\displaystyle x} x lässt sich zeigen, dass
c 2 t ′ 2 − x ′ 2 = c 2 t 2 − x 2 {\displaystyle c^{2}t'^{2}-x'^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2}} {\displaystyle c^{2}t'^{2}-x'^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2}}
gelten muss. Der Ausdruck c 2 t 2 − x 2 {\displaystyle \textstyle c^{2}t^{2}-x^{2}} {\displaystyle \textstyle c^{2}t^{2}-x^{2}} ist also eine Invariante der Lorentz-Transformation, d. h. in allen unter Lorentz-Transformationen verbundenen Koordinatensystemen konstant.
In drei Raumdimensionen ist die Norm c 2 t 2 − ( x 2 + y 2 + z 2 ) {\displaystyle \textstyle c^{2}t^{2}-(x^{2}+y^{2}+z^{2})} {\displaystyle \textstyle c^{2}t^{2}-(x^{2}+y^{2}+z^{2})} die einzige Möglichkeit, eine Lorentz-Invariante zu bilden. Z. B. ist die Norm des Energie-Impuls-Vektors die mit c {\displaystyle c} c multiplizierte Masse m c {\displaystyle mc} {\displaystyle mc}, und die Norm des Drehimpulsvektors ist der lorentzinvariante Betrag des Eigendrehimpulses. Auch der Abstand zweier Ereignisse, also die Norm der Differenz der Vierervektoren der beiden Weltpunkte, ist lorentzinvariant. Bei zwei Vierervektoren ist auch ihr Skalarprodukt lorentzinvariant. Ein Tensor 2. Stufe hat eine lorentzinvariante Spur etc.
Lorentz-Kontraktion und Invarianz der transversalen Koordinaten
→ Hauptartikel: Spezielle Lorentz-Transformation und Lorentzkontraktion
Für einen Lorentz-Boost mit beliebig gerichteter Geschwindigkeit v → {\displaystyle {\vec {v}}} {\vec {v}}, lässt sich der Koordinatenvektor r → = ( x , y , z ) {\displaystyle {\vec {r}}=(x,y,z)} {\vec {r}}=(x,y,z) des Ereignisses in zwei Komponenten[3][4] r → = r ∥ → + r ⊥ → {\displaystyle \textstyle {\vec {r}}={\vec {r_{\parallel }}}+{\vec {r_{\bot }}}} {\displaystyle \textstyle {\vec {r}}={\vec {r_{\parallel }}}+{\vec {r_{\bot }}}} zerlegen. Die Indizes ∥ {\displaystyle \parallel } \parallel und ⊥ {\displaystyle \perp } \perp bezeichnen dabei die parallele bzw. eine rechtwinklige Richtung zur Geschwindigkeit v → {\displaystyle {\vec {v}}} {\vec {v}}. Die transformierten Koordinaten sind dann durch
t ′ = γ ( t − v → ⋅ r → c 2 ) , r → ∥ ′ = γ ( r → ∥ − v → t ) , r → ⊥ ′ = r → ⊥ {\displaystyle t'=\gamma \left(t-{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {r}}}{c^{2}}}\right),\qquad {\vec {r}}_{\parallel }'=\gamma \left({\vec {r}}_{\parallel }-{\vec {v}}t\right),\qquad {\vec {r}}_{\bot }'={\vec {r}}_{\bot }} {\displaystyle t'=\gamma \left(t-{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {r}}}{c^{2}}}\right),\qquad {\vec {r}}_{\parallel }'=\gamma \left({\vec {r}}_{\parallel }-{\vec {v}}t\right),\qquad {\vec {r}}_{\bot }'={\vec {r}}_{\bot }}
gegeben. Ein von den Beobachtern im gestrichenen System gemessener Abstand r → ′ {\displaystyle {\vec {r}}'} {\vec r}' ist nur in Bewegungsrichtung r ∥ → {\displaystyle {\vec {r_{\parallel }}}} {\displaystyle {\vec {r_{\parallel }}}} verkürzt. Dieser Effekt wird Lorentz-Kontraktion genannt. Bei Maßstäben r ⊥ → {\displaystyle {\vec {r_{\bot }}}} {\displaystyle {\vec {r_{\bot }}}} senkrecht zur Bewegungsrichtung wirkt sich die Relativität der Gleichzeitigkeit nicht aus. Zusammengefasst lauten diese Gleichungen in der Matrixschreibweise mit Vierervektoren (und der Einheitsmatrix I 3 {\displaystyle I_{3}} I_{3}):
( c t ′ r → ′ ) = ( γ − γ v → T / c − γ v → / c I 3 + ( γ − 1 ) v → ⋅ v → T / v 2 ) ( c t r → ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}ct'\\{\vec {r}}'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma &-\gamma {\vec {v}}^{T}/c\\-\gamma {\vec {v}}/c&I_{3}+(\gamma -1){\vec {v}}\cdot {\vec {v}}^{T}/v^{2}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\{\vec {r}}\end{pmatrix}}} {\displaystyle {\begin{pmatrix}ct'\\{\vec {r}}'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma &-\gamma {\vec {v}}^{T}/c\\-\gamma {\vec {v}}/c&I_{3}+(\gamma -1){\vec {v}}\cdot {\vec {v}}^{T}/v^{2}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\{\vec {r}}\end{pmatrix}}}.
Auf gleiche Weise lassen sich elektromagnetische Felder gemäß E → ′ = E → ∥ ′ + E → ⊥ ′ {\displaystyle {\vec {E}}'={\vec {E}}'_{\parallel }+{\vec {E}}'_{\perp }} {\displaystyle {\vec {E}}'={\vec {E}}'_{\parallel }+{\vec {E}}'_{\perp }} und B → ′ = B → ∥ ′ + B → ⊥ ′ {\displaystyle {\vec {B}}'={\vec {B}}'_{\parallel }+{\vec {B}}'_{\perp }} {\displaystyle {\vec {B}}'={\vec {B}}'_{\parallel }+{\vec {B}}'_{\perp }} in Komponenten zerlegen.[5] Man erhält die (skalaren) Feldkoordinaten
E ∥ ′ = E ∥ B ∥ ′ = B ∥ E ⊥ ′ = γ ( E → + v → × B → ) ⊥ B ⊥ ′ = γ ( B → − v → × E → c 2 ) ⊥ . {\displaystyle {\begin{aligned}E'_{\parallel }&=E_{\parallel }\\B'_{\parallel }&=B_{\parallel }\\E'_{\perp }&=\gamma \left({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right)_{\perp }\\B'_{\perp }&=\gamma \left({\vec {B}}-{\frac {{\vec {v}}\times {\vec {E}}}{c^{2}}}\right)_{\perp }.\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}E'_{\parallel }&=E_{\parallel }\\B'_{\parallel }&=B_{\parallel }\\E'_{\perp }&=\gamma \left({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right)_{\perp }\\B'_{\perp }&=\gamma \left({\vec {B}}-{\frac {{\vec {v}}\times {\vec {E}}}{c^{2}}}\right)_{\perp }.\end{aligned}}}
In nichtrelativistischer Näherung, d. h. für Geschwindigkeiten v ≪ c {\displaystyle v\ll c} v\ll c, gilt γ ≈ 1 {\displaystyle \gamma \approx 1} \gamma \approx 1. In diesem Fall braucht nicht zwischen Orten und Zeiten in verschiedenen Bezugssystemen unterschieden zu werden und für die Feldgrößen gilt:
E → ′ = E → + v → × B → B → ′ = B → − ( 1 / c 2 ) v → × E → E → = E → ′ − v → × B → ′ B → = B → ′ + ( 1 / c 2 ) v → × E → ′ {\displaystyle {\begin{aligned}&{\vec {E}}'={\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}\\&{\vec {B}}'={\vec {B}}-(1/{{c}^{2}}){\vec {v}}\times {\vec {E}}\\&{\vec {E}}={\vec {E}}'-{\vec {v}}\times {\vec {B}}'\\&{\vec {B}}={\vec {B}}'+(1/{{c}^{2}}){\vec {v}}\times {\vec {E}}'\\\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}&{\vec {E}}'={\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}\\&{\vec {B}}'={\vec {B}}-(1/{{c}^{2}}){\vec {v}}\times {\vec {E}}\\&{\vec {E}}={\vec {E}}'-{\vec {v}}\times {\vec {B}}'\\&{\vec {B}}={\vec {B}}'+(1/{{c}^{2}}){\vec {v}}\times {\vec {E}}'\\\end{aligned}}}
Herleitung
Um die Formeln einfach zu halten, wird als Längeneinheit die Strecke, die Licht in einer Sekunde zurücklegt gewählt. Dann haben Zeit und Länge dieselbe Maßeinheit und die dimensionslose Lichtgeschwindigkeit beträgt c = 1 {\displaystyle c=1} c=1. Die Geschwindigkeit v {\displaystyle v} v wird also in Einheiten der Lichtgeschwindigkeit gemessen.
Die erste Herleitung beruhte auf der Invarianz der Wellengleichung im Rahmen der elastischen Lichttheorie. Später wurde gezeigt, dass die Lorentz-Transformationsformeln, die den Ausdruck δ x 2 + δ y 2 + δ z 2 − c 2 δ t 2 {\displaystyle \textstyle \delta x^{2}+\delta y^{2}+\delta z^{2}-c^{2}\delta t^{2}} {\displaystyle \textstyle \delta x^{2}+\delta y^{2}+\delta z^{2}-c^{2}\delta t^{2}} und somit die Form von Lichtkugelwellen invariant lassen, sich rigoros aus der elektromagnetischen Wellengleichung (und somit aus den Maxwell-Gleichungen) herleiten lassen, sofern die Forderung nach Linearität und Reziprozität berücksichtigt wird.[6][7] Im Rahmen der Elektrodynamik kann die Herleitung der Lorentz-Transformation auch unter Berücksichtigung des Potentials einer bewegten Ladung (Liénard-Wiechert-Potential) erfolgen.[8] Darüber hinaus gibt es eine größere Gruppe von Kugelwellentransformationen, welche den Ausdruck λ ( δ x 2 + δ y 2 + δ z 2 − c 2 δ t 2 ) {\displaystyle \textstyle \lambda \left(\delta x^{2}+\delta y^{2}+\delta z^{2}-c^{2}\delta t^{2}\right)} {\displaystyle \textstyle \lambda \left(\delta x^{2}+\delta y^{2}+\delta z^{2}-c^{2}\delta t^{2}\right)} invariant lassen. Jedoch nur die Lorentz-Transformationen mit λ = 1 {\displaystyle \lambda =1} \lambda =1 bilden alle Naturgesetze einschließlich der Mechanik symmetrisch ab, und gehen für v ≪ c {\displaystyle v\ll c} v\ll c in die Galilei-Transformation über.
Herleitungen in modernen Lehrbüchern beruhen überwiegend auf der Interpretation der Transformationen im Sinne der Speziellen Relativitätstheorie, wonach diese Raum und Zeit selbst betreffen, und sind unabhängig von Annahmen zur Elektrodynamik. Einstein (1905) benutzte dabei zwei Postulate: Das Relativitätsprinzip und das Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit. Allgemeinere Herleitungen, welche auf Wladimir Ignatowski (1910) zurückgehen, beruhen auf gruppentheoretischen Erwägungen.[9][10]
Herleitung aus Linearität und Relativitätsprinzip
Die folgenden Überlegungen klären, wie Koordinaten zusammenhängen, die inertiale Beobachter (Beobachter die fest mit einem Inertialsystem verbunden sind) zur Benennung der Zeit und des Ortes von Ereignissen verwenden. Die Beobachter sollen hier beispielhaft Anna und Bert sein. Annas Koordinatensystem ist durch x , y , z , t {\displaystyle x,y,z,t} x,y,z,t gegeben und Berts durch die gestrichenen Variablen x ′ , y ′ , z ′ , t ′ {\displaystyle \textstyle x',y',z',t'} {\displaystyle \textstyle x',y',z',t'}. Es handele sich um rechtwinklige Koordinaten.
Linearität
Für alle gleichförmig bewegten Beobachter durchlaufen freie Teilchen gerade Weltlinien. Daher muss die Transformation Geraden auf Geraden abbilden. Mathematisch besagt dies, dass die Transformation linear ist.
Stimmen beide Beobachter in der Wahl des Zeitnullpunkts und des räumlichen Ursprungs überein, dann ist die gesuchte Transformation linear und homogen.
Bert bewege sich relativ zu Anna mit der Geschwindigkeit v {\displaystyle v} v. Die Koordinatensysteme werden so orientiert, dass x , x ′ {\displaystyle x,x'} x,x' und v {\displaystyle v} v auf einer Gerade in einer Richtung liegen. Dann kann man sich auf die Koordinaten x , t {\displaystyle x,t} x,t beschränken.
Die gesuchte Lorentz-Transformation lautet dann
t ′ = a t + b x , x ′ = e t + f x . {\displaystyle t'=at+bx,\quad x'=et+fx.} t'=at+bx,\quad x'=et+fx.
Die Unbekannten a , b , e , f {\displaystyle a,b,e,f} a,b,e,f sind nun zu bestimmen.
Lichtkegel
Ein Lichtimpuls, den Anna zur Zeit t = 0 {\displaystyle t=0} t=0 am Ort x = 0 {\displaystyle x=0} x=0 losschickt, wird durch x = ± t {\displaystyle x=\pm t} x=\pm t beschrieben. Da die Lichtgeschwindigkeit absolut ist, muss für Bert x ′ = ± t ′ {\displaystyle x'=\pm t'} x'=\pm t' gelten. Die Gleichungen mit dem Pluszeichen erfordern e + f = a + b {\displaystyle e+f=a+b} e+f=a+b und die Gleichungen mit dem Minuszeichen e − f = − a + b {\displaystyle e-f=-a+b} e-f=-a+b. Daraus folgt e = b {\displaystyle e=b} e=b und f = a {\displaystyle f=a} f=a bzw.
t ′ = a t + b x , x ′ = b t + a x . {\displaystyle t'=at+bx,\quad x'=bt+ax.} t'=at+bx,\quad x'=bt+ax.
Dies gilt für alle Lorentz-Transformationen, unabhängig von der Relativgeschwindigkeit der Beobachter.
Relativgeschwindigkeit
Anna beschreibt Berts Bewegung durch x = v t {\displaystyle x=vt} x=vt, Bert seine eigene durch x ′ = 0 {\displaystyle \textstyle x'=0} {\displaystyle \textstyle x'=0}. Die Lorentz-Transformation von Annas zu Berts Koordinatensystem muss diese beiden Ausdrücke ineinander überführen. Aus x ′ = b t + a v t = ( b + a v ) t = 0 {\displaystyle \textstyle x'=bt+avt=(b+av)t=0} {\displaystyle \textstyle x'=bt+avt=(b+av)t=0} folgt dann b = − a v {\displaystyle b=-av} b=-av, also
t ′ = a ( t − v x ) , x ′ = a ( x − v t ) . {\displaystyle t'=a(t-vx),\quad x'=a(x-vt).} t'=a(t-vx),\quad x'=a(x-vt).
Es bleibt noch der Vorfaktor a {\displaystyle a} a zu bestimmen. Von den Koordinaten kann er nicht abhängen, sonst wäre die Lorentz-Transformation nichtlinear. Bleibt also eine Abhängigkeit von der Relativgeschwindigkeit. Man schreibt a = a ( v ) {\displaystyle a=a(v)} a=a(v). Da die Lorentz-Transformation nicht von der Richtung von v {\displaystyle v} v abhängen soll, gilt a = a ( | v | ) {\displaystyle a=a(|v|)} a=a(|v|).
Vorfaktor
Um den Vorfaktor zu bestimmen, führt man eine weitere inertiale Beobachterin Clara mit den Koordinaten t ″ , x ″ {\displaystyle \textstyle t'',x''} {\displaystyle \textstyle t'',x''} und der Relativgeschwindigkeit v ′ {\displaystyle v'} v' in Bezug auf Bert ein. Die Lorentz-Transformation von Berts zu Claras Koordinaten muss wegen des Relativitätsprinzips dieselbe Form wie die obige haben, also
t ″ = a ′ ( t ′ − v ′ x ′ ) , x ″ = a ′ ( x ′ − v ′ t ′ ) , {\displaystyle t''=a'(t'-v'x'),\quad x''=a'(x'-v't'),} t''=a'(t'-v'x'),\quad x''=a'(x'-v't'),
dabei wurde a ′ = a ( v ′ ) {\displaystyle a'=a(v')} a'=a(v') abgekürzt.
Man kombiniert nun die beiden Transformationen, rechnet also die Koordinaten von Anna in die von Clara um. Es reicht dazu, eine der beiden Koordinaten zu berechnen:
t ″ = a ′ ( t ′ − v ′ x ′ ) = a ′ ( a ( t − v x ) − v ′ a ( x − v t ) ) = a ′ a ( 1 + v v ′ ) ( t − v + v ′ 1 + v v ′ x ) . {\displaystyle t''=a'(t'-v'x')=a'(a(t-vx)-v'a(x-vt))=a'a(1+vv')\left(t-{\frac {v+v'}{1+vv'}}x\right).} t''=a'(t'-v'x')=a'(a(t-vx)-v'a(x-vt))=a'a(1+vv')\left(t-{\frac {v+v'}{1+vv'}}x\right).
Sitzt Clara neben Anna, ist v ′ = − v {\displaystyle v'=-v} v'=-v und die doppelt gestrichenen Koordinaten sind gleich den ungestrichenen. Der Faktor ( v + v ′ ) / ( 1 + v v ′ ) {\displaystyle \textstyle (v+v')/(1+vv')} {\displaystyle \textstyle (v+v')/(1+vv')} verschwindet und der Vorfaktor a ′ a ( 1 + v ′ v ) = a ′ a ( 1 − v 2 ) {\displaystyle \textstyle a'a(1+v'v)=a'a(1-v^{2})} {\displaystyle \textstyle a'a(1+v'v)=a'a(1-v^{2})} muss gleich 1 sein. Wegen a ( − v ) a ( v ) ⋅ ( 1 − v 2 ) = 1 {\displaystyle \textstyle a(-v)a(v)\cdot (1-v^{2})=1} {\displaystyle \textstyle a(-v)a(v)\cdot (1-v^{2})=1} und a ( − v ) = a ( v ) {\displaystyle a(-v)=a(v)} a(-v)=a(v) muss dann
a ( v ) = 1 1 − v 2 {\displaystyle a(v)={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}}}}} a(v)={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}}}}
gelten. Mit der Abkürzung γ = a ( v ) {\displaystyle \gamma =a(v)} \gamma =a(v) ist
t ′ = γ ( t − v x ) , x ′ = γ ( x − v t ) . {\displaystyle t'=\gamma (t-vx),\quad x'=\gamma (x-vt).} {\displaystyle t'=\gamma (t-vx),\quad x'=\gamma (x-vt).}
Die Lorentz-Transformationen lauten daher
t ′ = γ ( t − ( v c 2 ) x ) , x ′ = γ ( x − v t ) , γ = 1 1 − ( v c ) 2 . {\displaystyle t'=\gamma \left(t-\left({\frac {v}{c^{2}}}\right)x\right),\qquad x'=\gamma (x-vt),\qquad \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v}{c}})^{2}}}}.} {\displaystyle t'=\gamma \left(t-\left({\frac {v}{c^{2}}}\right)x\right),\qquad x'=\gamma (x-vt),\qquad \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v}{c}})^{2}}}}.}
Herleitung aus der Zeitdilatation
Mit einem Argument von Macdonald[11] kann man die Transformationsformeln aus der Zeitdilatation gewinnen. An einer Lichtfront, die sich in positiver x-Richtung bewegt, hat die Differenzkoordinate c t − x {\displaystyle ct-x} {\displaystyle ct-x} überall denselben Wert, ebenso c t ′ − x ′ {\displaystyle \textstyle ct'-x'} {\displaystyle \textstyle ct'-x'}. Man betrachtet eine Front, die durch das Ereignis E geht und irgendwann (vorher oder nachher) auf den bewegten Koordinatenursprung O' trifft, der langsamer als Licht sein muss. Wegen der gleichbleibenden Werte stehen die Differenzkoordinaten bei E in derselben Beziehung zueinander wie am Punkt O'. An diesem gilt x ′ = 0 , x = v t {\displaystyle \textstyle x'=0,\ x=vt} {\displaystyle \textstyle x'=0,\ x=vt}, sowie nach der Dilatationsformel t = γ t ′ {\displaystyle \textstyle t=\gamma t'} {\displaystyle \textstyle t=\gamma t'} wobei γ = 1 / 1 − v 2 / c 2 {\displaystyle \textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}} {\displaystyle \textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}} ist. Für die Differenzkoordinaten gilt daher
c t − x = ( 1 − v c ) γ ( c t ′ − x ′ ) {\displaystyle ct-x=\left(1-{\frac {v}{c}}\right)\gamma (ct'-x')} ct-x=\left(1-{\frac {v}{c}}\right)\gamma (ct'-x')
Analog hat an einer Lichtfront, die sich in negativer x-Richtung bewegt, die Summenkoordinate c t + x {\displaystyle ct+x} {\displaystyle ct+x} überall denselben Wert, ebenso c t ′ + x ′ {\displaystyle \textstyle ct'+x'} {\displaystyle \textstyle ct'+x'}. Auch eine solche Front geht durch E (mit gleichen Koordinaten wie oben) und durch O' (zu einem anderen Zeitpunkt als oben). In der Gleichung analog zur vorhergehenden werden nun Summen statt Differenzen gebildet, daher lautet sie
c t + x = ( 1 + v c ) γ ( c t ′ + x ′ ) {\displaystyle ct+x=\left(1+{\frac {v}{c}}\right)\gamma (ct'+x')} ct+x=\left(1+{\frac {v}{c}}\right)\gamma (ct'+x')
Addition und Subtraktion der beiden Gleichungen ergibt c t , x {\displaystyle ct,x} {\displaystyle ct,x} als Funktion von c t ′ , x ′ {\displaystyle ct',x'} {\displaystyle ct',x'}.
Empirische Herleitung
→ Hauptartikel: Testtheorien der speziellen Relativitätstheorie
Howard P. Robertson und andere zeigten, dass die Lorentz-Transformation auch empirisch hergeleitet werden kann. Dazu ist es nötig, allgemeine Transformationsformeln zwischen verschiedenen Inertialsystemen mit experimentell bestimmbaren Parametern zu versehen. Es wird angenommen, dass ein einziges „bevorzugtes“ Inertialsystem X , Y , Z , T {\displaystyle X,Y,Z,T} X,Y,Z,T existiert, in dem die Lichtgeschwindigkeit konstant, isotrop und unabhängig von der Geschwindigkeit der Quelle ist. Ebenso sollen Einstein-Synchronisation und Synchronisation durch langsamen Uhrentransport in diesem System äquivalent sein. Es sei ein weiteres, zu diesem System kollineares System x , y , z , t {\displaystyle x,y,z,t} x,y,z,t gegeben, dessen räumlicher Ursprung zum Zeitpunkt T = t = 0 {\displaystyle T=t=0} T=t=0 mit dem Ursprung des ersten Systems übereinstimmt und in dem die Uhren und Maßstäbe dieselbe interne Konstitution haben wie im ersten System. Dieses zweite System bewegt sich relativ zum ersten System mit konstanter Geschwindigkeit entlang der gemeinsamen X {\displaystyle X} X-Achse. Folgende Größen bleiben dabei zunächst unbestimmt:
a ( v ) {\displaystyle a(v)} a(v) Unterschiede in der Zeitmessung,
b ( v ) {\displaystyle b(v)} b(v) Unterschiede in der Messung longitudinaler Längen,
d ( v ) {\displaystyle d(v)} d(v) Unterschiede in der Messung transversaler Längen,
ε ( v ) {\displaystyle \varepsilon (v)} \varepsilon (v) folgt aus der Konvention zur Uhrensynchronisation.
Daraus ergeben sich folgende Transformationsformeln:
t = a ( v ) T + ε ( v ) x x = b ( v ) ( X − v T ) y = d ( v ) Y z = d ( v ) Z {\displaystyle {\begin{aligned}t&=a(v)T+\varepsilon (v)x\\x&=b(v)(X-vT)\\y&=d(v)Y\\z&=d(v)Z\end{aligned}}} {\begin{aligned}t&=a(v)T+\varepsilon (v)x\\x&=b(v)(X-vT)\\y&=d(v)Y\\z&=d(v)Z\end{aligned}}
ε ( v ) {\displaystyle \varepsilon (v)} \varepsilon (v) wird nicht direkt gemessen, sondern folgt aus der Uhrensynchronisationskonvention. Hier ist die Einstein-Synchronisation die einfachste Möglichkeit, woraus sich ε ( v ) = − v / c 2 {\displaystyle \textstyle \varepsilon (v)=-v/c^{2}} {\displaystyle \textstyle \varepsilon (v)=-v/c^{2}} ergibt. Das Verhältnis zwischen b ( v ) {\displaystyle b(v)} b(v) und d ( v ) {\displaystyle d(v)} d(v) wird aus dem Michelson-Morley-Experiment, das Verhältnis zwischen a ( v ) {\displaystyle a(v)} a(v) und b ( v ) {\displaystyle b(v)} b(v) aus dem Kennedy-Thorndike-Experiment und schließlich a ( v ) {\displaystyle a(v)} a(v) allein aus dem Ives-Stilwell-Experiment bestimmt. Die Experimente ergaben 1 / a ( v ) = b ( v ) = γ {\displaystyle \textstyle 1/a(v)=b(v)=\gamma } {\displaystyle \textstyle 1/a(v)=b(v)=\gamma } und d ( v ) = 1 {\displaystyle d(v)=1} d(v)=1, was obige Transformation in die Lorentz-Transformation überführt. Hingegen wurde die Galilei-Transformation a ( v ) = b ( v ) = d ( v ) = 1 {\displaystyle a(v)=b(v)=d(v)=1} a(v)=b(v)=d(v)=1 damit ausgeschlossen.
Poincaré- und Lorentz-Gruppe
Die Poincaré-Gruppe ist die Menge der linear inhomogenen Transformationen
T Λ , a : x ↦ T Λ , a x = x ′ , x ′ m = Λ m n x n + a m , m , n ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 } , {\displaystyle T_{\Lambda ,a}\colon x\mapsto T_{\Lambda ,a}x=x^{\prime },\quad x^{\prime \,m}=\Lambda ^{m}{}_{n}\,x^{n}+a^{m},\quad m,n\in \{0,1,2,3\},} {\displaystyle T_{\Lambda ,a}\colon x\mapsto T_{\Lambda ,a}x=x^{\prime },\quad x^{\prime \,m}=\Lambda ^{m}{}_{n}\,x^{n}+a^{m},\quad m,n\in \{0,1,2,3\},}
die den Abstand zweier Vierervektoren invariant lassen. Die Untergruppe der homogenen Transformationen T Λ , 0 {\displaystyle \textstyle T_{\Lambda ,0}} {\displaystyle \textstyle T_{\Lambda ,0}} bildet die Lorentz-Gruppe, O ( 1 , 3 ) {\displaystyle \mathrm {O} (1,3)} \mathrm {O} (1,3), das ist die Gruppe der linearen Transformationen von R 4 {\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{4}} {\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{4}} auf R 4 {\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{4}} {\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{4}}, die das Längenquadrat
w 2 = t 2 − x 2 − y 2 − z 2 {\displaystyle w^{2}=t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}} w^{2}=t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}
jedes Vektors w = ( t , x , y , z ) {\displaystyle w=(t,x,y,z)} w=(t,x,y,z) aus R 4 {\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{4}} {\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{4}} invariant lassen. Schreiben wir das Längenquadrat als Matrixprodukt
w T η w {\displaystyle w^{\mathrm {T} }\,\eta \,w} w^{\mathrm {T} }\,\eta \,w
des Spaltenvektors w {\displaystyle w} w mit der Matrix
η = ( 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 ) {\displaystyle \eta ={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\\end{pmatrix}}} {\displaystyle \eta ={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\\end{pmatrix}}}
und der transponierten Spalte, der Zeile w T {\displaystyle \textstyle w^{\mathrm {T} }} {\displaystyle \textstyle w^{\mathrm {T} }}, so muss für jeden Lorentz-transformierten Vektor Λ w {\displaystyle \Lambda w} \Lambda w gelten
w T Λ T η Λ w = w T η w . {\displaystyle w^{\mathrm {T} }\,\Lambda ^{\mathrm {T} }\eta \,\Lambda \,w=w^{\mathrm {T} }\,\eta \,w.} {\displaystyle w^{\mathrm {T} }\,\Lambda ^{\mathrm {T} }\eta \,\Lambda \,w=w^{\mathrm {T} }\,\eta \,w.}
Dies ist genau dann der Fall, wenn die Lorentz-Transformation die Gleichung
Λ T η Λ = η {\displaystyle \Lambda ^{\mathrm {T} }\eta \,\Lambda =\eta } {\displaystyle \Lambda ^{\mathrm {T} }\eta \,\Lambda =\eta }
erfüllt.
Alle Lösungen dieser Gleichung, die die Zeitrichtung und räumliche Orientierung nicht umdrehen, sind von der Form
Λ = D 1 Λ v D 2 . {\displaystyle \Lambda =D_{1}\,\Lambda _{v}\,D_{2}.} {\displaystyle \Lambda =D_{1}\,\Lambda _{v}\,D_{2}.}
Dabei sind D 1 {\displaystyle D_{1}} D_{1} und D 2 {\displaystyle D_{2}} D_{2} Drehungen
D = ( 1 D 3 × 3 ) , D 3 × 3 T D 3 × 3 = 1 , det D 3 × 3 = 1. {\displaystyle D={\begin{pmatrix}1&\\&D_{3\times 3}\\\end{pmatrix}},\quad D_{3\times 3}^{\mathrm {T} }\,D_{3\times 3}=\mathbf {1} ,\quad \det D_{3\times 3}=1.} {\displaystyle D={\begin{pmatrix}1&\\&D_{3\times 3}\\\end{pmatrix}},\quad D_{3\times 3}^{\mathrm {T} }\,D_{3\times 3}=\mathbf {1} ,\quad \det D_{3\times 3}=1.}
Diese Drehungen bilden die Untergruppe SO(3) der Lorentz-Gruppe. Die Matrix
Λ v = ( γ − γ v 0 0 − γ v γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) {\displaystyle \Lambda _{v}={\begin{pmatrix}\gamma &-\gamma \,v&0&0\\-\gamma \,v&\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}} {\displaystyle \Lambda _{v}={\begin{pmatrix}\gamma &-\gamma \,v&0&0\\-\gamma \,v&\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}}
bewirkt die oben angegebene Lorentz-Transformation mit einer Geschwindigkeit | v | < 1 {\displaystyle |v|<1 die="" displaystyle="" p="" transformationen="" v="">
Λ = D Λ v D − 1 . {\displaystyle \Lambda =D\,\Lambda _{v}\,D^{-1}.} {\displaystyle \Lambda =D\,\Lambda _{v}\,D^{-1}.}
heißen Lorentz-Boost. Sie transformieren auf die Koordinaten des bewegten Beobachters, der sich mit Geschwindigkeit v {\displaystyle v} v in die Richtung bewegt, die sich durch die Drehung D {\displaystyle D} D aus der x {\displaystyle x} x-Richtung ergibt.
Lorentz-Transformationen, die das Vorzeichen der Zeitkoordinate, die Richtung der Zeit, nicht ändern,
Λ 0 0 ≥ 1 , {\displaystyle \Lambda _{\ 0}^{0}\geq 1,} {\displaystyle \Lambda _{\ 0}^{0}\geq 1,}
bilden die Untergruppe der orthochronen Lorentz-Transformationen. Die Lorentz-Transformationen mit
det Λ = 1 {\displaystyle \det \Lambda =1} \det \Lambda =1
bilden die Untergruppe der eigentlichen Lorentz-Transformationen. Für die orientierungstreuen Lorentz-Transformationen gilt
Λ 0 0 ⋅ det Λ ≥ 1. {\displaystyle \Lambda _{\ 0}^{0}\cdot \det \Lambda \geq 1.} {\displaystyle \Lambda _{\ 0}^{0}\cdot \det \Lambda \geq 1.}
Die zeit- und orientierungstreuen Lorentz-Transformationen
Λ 0 0 ≥ 1 , det Λ = 1 , {\displaystyle \Lambda _{\ 0}^{0}\geq 1,\quad \det \Lambda =1,} {\displaystyle \Lambda _{\ 0}^{0}\geq 1,\quad \det \Lambda =1,}
bilden die eigentliche orthochrone Lorentz-Gruppe. Sie ist zusammenhängend: Jede eigentliche orthochrone Lorentz-Transformation kann durch stetige Veränderung der sechs Parameter, drei für die Drehachse und den Drehwinkel und drei für die Relativgeschwindigkeit der beiden Bezugssysteme, in die identische Abbildung übergeführt werden.
Zeit- und Raumspiegelung
Die nicht mit der 1 {\displaystyle \mathbf {1} } \mathbf {1} zusammenhängenden Lorentz-Transformationen erhält man, indem man die Zeitspiegelung oder die Raumspiegelung
T = ( − 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) , P = ( 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 ) {\displaystyle {\mathcal {T}}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}},\quad {\mathcal {P}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\\end{pmatrix}}} {\displaystyle {\mathcal {T}}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}},\quad {\mathcal {P}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\\end{pmatrix}}}
oder beide mit den Lorentz-Transformationen multipliziert, die mit der 1 {\displaystyle \mathbf {1} } \mathbf {1} zusammenhängen. Die Lorentz-Gruppe O ( 1 , 3 ) {\displaystyle \mathrm {O} (1,3)} \mathrm {O} (1,3) hat vier Zusammenhangskomponenten.
Überlagerungsgruppe
Die folgenden Überlegungen zeigen, dass die Gruppe der linearen Transformationen des zweidimensionalen, komplexen Vektorraumes C 2 {\displaystyle \textstyle \mathbb {C} ^{2}} {\displaystyle \textstyle \mathbb {C} ^{2}}, deren Determinante den speziellen Wert 1 {\displaystyle 1} 1 hat, die sogenannte spezielle lineare Gruppe S L ( 2 , C ) {\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )} \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} ), die einfach zusammenhängende Überlagerung der eigentlichen orthochronen Lorentz-Transformationen ist. Dabei überlagert die Untergruppe der speziellen unitären zweidimensionalen Transformationen, SU(2) die Gruppe der Drehungen, S O ( 3 ) {\displaystyle \mathrm {SO} (3)} \mathrm{SO}(3).
Jede hermitesche 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} 2\times 2 – Matrix ist von der Form:
w ^ = ( t + z x − i y x + i y t − z ) = w ^ T ∗ = w ^ † . {\displaystyle {\hat {w}}={\begin{pmatrix}t+z&x-\mathrm {i} y\\x+\mathrm {i} y&t-z\end{pmatrix}}={\hat {w}}^{\mathrm {T} \,*}={\hat {w}}^{\dagger }.} {\displaystyle {\hat {w}}={\begin{pmatrix}t+z&x-\mathrm {i} y\\x+\mathrm {i} y&t-z\end{pmatrix}}={\hat {w}}^{\mathrm {T} \,*}={\hat {w}}^{\dagger }.}
Da sie umkehrbar eindeutig durch die vier reellen Parameter w = ( t , x , y , z ) {\displaystyle w=(t,x,y,z)} w=(t,x,y,z) bezeichnet wird und da Summen und reelle Vielfache hermitescher Matrizen wieder hermitesch sind und zu den Summen und Vielfachen der Vierervektoren w {\displaystyle w} w gehören, ist sie Element eines vierdimensionalen Vektorraums.
Die Determinante
det w ^ = t 2 − x 2 − y 2 − z 2 {\displaystyle \det {\hat {w}}=t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}} {\displaystyle \det {\hat {w}}=t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}
ist das Längenquadrat des Vierervektors w {\displaystyle w} w.
Multipliziert man w ^ {\displaystyle {\hat {w}}} {\hat {w}} von links mit einer beliebigen, komplexen 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} 2\times 2 – Matrix und von rechts mit deren adjungierten, so ist das Ergebnis M w ^ M † = u ^ {\displaystyle \textstyle M{\hat {w}}M^{\dagger }={\hat {u}}} {\displaystyle \textstyle M{\hat {w}}M^{\dagger }={\hat {u}}} wieder hermitesch und lässt sich als u ^ {\displaystyle {\hat {u}}} {\hat {u}} schreiben, wobei u = Λ w {\displaystyle u=\Lambda w} u=\Lambda w linear von w {\displaystyle w} w abhängt. Ist M {\displaystyle M} M aus der speziellen linearen Gruppe der komplexen 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} 2\times 2-Matrizen, S L ( 2 , C ) {\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )} \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} ), deren Determinanten den speziellen Wert 1 {\displaystyle 1} 1 haben, so stimmt das Längenquadrat von w {\displaystyle w} w und u = Λ w {\displaystyle u=\Lambda w} u=\Lambda w überein, Λ {\displaystyle \Lambda } \Lambda ist also eine Lorentz-Transformation. Zu jedem M {\displaystyle M} M aus S L ( 2 , C ) {\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )} \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} ) gehört so vermöge
M w ^ M † = Λ w ^ {\displaystyle M{\hat {w}}M^{\dagger }={\widehat {\Lambda w}}} M{\hat {w}}M^{\dagger }={\widehat {\Lambda w}}
eine Lorentz-Transformation Λ {\displaystyle \Lambda } \Lambda aus O ( 1 , 3 ) {\displaystyle \mathrm {O} (1,3)} \mathrm {O} (1,3). Genauer gehört zu jedem Paar ± M {\displaystyle \pm M} \pm M von komplexen 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} 2\times 2-Matrizen aus S L ( 2 , C ) {\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )} \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} ) genau eine Lorentz-Transformation Λ ( M ) = Λ ( − M ) {\displaystyle \Lambda (M)=\Lambda (-M)} \Lambda (M)=\Lambda (-M) aus dem Teil von O ( 1 , 3 ) {\displaystyle \mathrm {O} (1,3)} \mathrm {O} (1,3), welcher mit der 1 {\displaystyle \mathbf {1} } \mathbf {1} stetig zusammenhängt. Dieser Teil der Lorentz-Gruppe ist eine Darstellung der Gruppe S L ( 2 , C ) {\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )} \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} ).
Die Gruppe S L ( 2 , C ) {\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )} \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} ) ist die Produktmannigfaltigkeit R 3 × S 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times S^{3}} \mathbb {R} ^{3}\times S^{3} und einfach zusammenhängend. Die Gruppe der eigentlichen orthochronen Lorentz-Transformationen ist hingegen nicht einfach zusammenhängend: Drehungen um eine feste Achse mit Winkeln, die von α = 0 {\displaystyle \alpha =0} \alpha =0 bis α = 2 π {\displaystyle \alpha =2\pi } \alpha =2\pi anwachsen, bilden in der Drehgruppe einen geschlossenen Kreis. Man kann diese Transformationen nicht stetig in andere Drehungen abändern, so dass dieser Kreis auf einen Punkt zusammenschrumpft.
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Neutrino
(Weitergeleitet von Neutrinos)
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Dieser Artikel behandelt das Elementarteilchen. Für weitere Bedeutungen von Neutrino siehe Neutrino (Begriffsklärung).
Neutrino
Klassifikation
Elementarteilchen
Fermion
Lepton
Eigenschaften
elektrische Ladung neutral
Masse < 4·10−36 kg
Ruheenergie < 2,2 eV
Spin 1/2
Wechselwirkungen schwach
Gravitation
Neutrinos sind elektrisch neutrale Elementarteilchen mit sehr geringer Masse. Im Standardmodell der Elementarteilchenphysik existieren drei Arten (Generationen) von Neutrinos: Elektron-, Myon- und Tau-Neutrinos. Jede Neutrino-Generation besteht aus dem Neutrino selbst und seinem Anti-Neutrino. Der Name Neutrino wurde von Enrico Fermi für das zuerst entdeckte Elektron-Neutrino vorgeschlagen und bedeutet (entsprechend der italienischen Verkleinerungsform ino) kleines Neutron.
Bei Wechselwirkung der Neutrinos mit Materie finden, anders als bei den anderen bekannten Elementarteilchen, nur Prozesse der schwachen Wechselwirkung statt. Reaktionen erfolgen im Vergleich zur elektromagnetischen und starken Wechselwirkung also sehr selten. Deshalb geht ein Strahl von Neutrinos auch durch große Materiedicken – z. B. durch die ganze Erde – hindurch, wenn auch mit einer gewissen Schwächung.[1] Entsprechend aufwendig ist der Nachweis von Neutrinos in Experimenten.
Alle Elementarteilchen des Standardmodells: Grün sind die Leptonen, die obere Reihe davon sind die Neutrinos
Nach dem Entstehungsort der in Neutrinodetektoren beobachteten Neutrinos kann unterschieden werden zwischen
kosmischen Neutrinos (Weltall)
solaren Neutrinos (Sonne)
atmosphärischen Neutrinos (Erdatmosphäre)
Geoneutrinos (Erdinneres)
Reaktorneutrinos (Kernreaktoren)
Neutrinos aus Beschleunigerexperimenten
Die erste Aufnahme eines Neutrinos in einer Blasenkammer gefüllt mit flüssigem Wasserstoff am Argonne National Laboratory von 1970. Ein Neutrino kollidiert mit einem Proton. Die Reaktion erfolgte rechts im Bild, dort, wo drei Spuren zusammenlaufen. Der Neutrinostrahl wurde aus zerfallenden positiv geladenen Pionen gewonnen, die durch Beschuss eines Berylliumtargets mit dem Protonenstrahl erzeugt wurden.[2]
Oberes Bild (gespiegelt und anderer Kontrast) mit eingezeichneten Spuren: Zu sehen ist die Reaktion ν μ + p → π + + μ − + p {\displaystyle \nu _{\mu }+p\rightarrow \pi ^{+}+\mu ^{-}+p} {\displaystyle \nu _{\mu }+p\rightarrow \pi ^{+}+\mu ^{-}+p}. Ein Myon-Neutrino ( ν μ {\displaystyle \nu _{\mu }} \nu _{\mu }) von unten links kommend (unsichtbar) kollidiert mit einem Proton (p) des flüssigen Wasserstoffs. Als Endprodukt der Reaktion entsteht ein positiv geladenes Pion ( π + {\displaystyle \pi ^{+}} \pi ^{+}) und ein negativ geladenes Myon ( μ − {\displaystyle \mu ^{-}} \mu ^{-}). Die detaillierte Reaktion des Neutrinos mit den Quarks des Protons vermittelt über ein W-Boson (Schwache Wechselwirkung) ist schematisch rechts neben den Spuren eingezeichnet.
Beim radioaktiven Beta-Minus-Zerfall wurde zunächst nur ein ausgesandtes Elektron beobachtet. Zusammen mit dem verbleibenden Kern schien es sich somit um ein Zweikörperproblem zu handeln (siehe auch Kinematik (Teilchenprozesse)). Damit ließ sich das kontinuierliche Energiespektrum der Beta-Elektronen nur erklären, wenn man eine Verletzung des Energieerhaltungssatzes annahm. Das führte Wolfgang Pauli dazu, ein neues Elementarteilchen anzunehmen, das von den Detektoren unbeobachtet gleichzeitig mit dem Elektron aus dem Kern ausgesandt wird. Dieses Teilchen trägt einen Teil der beim Zerfall freiwerdenden Energie davon. Auf diese Weise können die Elektronen der Betastrahlung unterschiedlich viel kinetische Energie erhalten, ohne dass die Energieerhaltung verletzt ist.
Pauli schlug in einem Brief vom 4. Dezember 1930 dieses hypothetische Teilchen vor, das er zunächst Neutron nannte.[3] Enrico Fermi, der eine Theorie über die grundlegenden Eigenschaften und Wechselwirkungen dieses Teilchens ausarbeitete, benannte es um in Neutrino (italienisch für „kleines Neutron“, „Neutrönchen“), um einen Namenskonflikt mit dem heute bekannten Neutron zu vermeiden. Erst im Jahr 1933 präsentierte Pauli seine Hypothese einem breiteren Publikum und stellte die Frage nach einem möglichen experimentellen Nachweis. Da das Neutrino in den üblichen Teilchendetektoren kein Signal erzeugte, war klar, dass es nur äußerst schwer nachweisbar sei.
Tatsächlich gelang die erste Beobachtung erst 23 Jahre später, 1956, an einem der ersten großen Kernreaktoren mit dem Cowan-Reines-Neutrinoexperiment.[4][5][6] Die Forscher sandten am 14. Juni 1956 Wolfgang Pauli ein Telegramm mit der Erfolgsmitteilung nach Zürich.[7] Ein Kernreaktor emittiert durch den Betazerfall der Spaltprodukte Neutrinos (genauer: Elektron-Antineutrinos) mit viel höherer Flussdichte, als mit einem radioaktiven Präparat erreichbar wäre. Reines und Cowan benutzten zur Detektion der Antineutrinos die folgende Teilchenreaktion (sog. inverser Betazerfall):
ν ¯ e + p → e + + n {\displaystyle {\bar {\nu }}_{e}+p\rightarrow e^{+}+n} {\bar {\nu }}_{e}+p\rightarrow e^{+}+n
Ein Antineutrino trifft auf ein Proton und erzeugt ein Positron und ein Neutron. Diese Reaktionsprodukte sind beide vergleichsweise leicht beobachtbar. Für diese Entdeckung erhielt Reines 1995 den Nobelpreis für Physik.
Das Myon-Neutrino wurde 1962 von Jack Steinberger, Melvin Schwartz und Leon Max Lederman mit dem ersten an einem Beschleuniger hergestellten Neutrinostrahl entdeckt. Den Neutrinostrahl erzeugten sie, indem sie einen hochenergetischen Pionenstrahl so weit laufen ließen, dass ein Teil der Pionen (etwa 10 %) in Myonen und Neutrinos zerfallen war. Mit Hilfe einer massiven, etwa 12 m dicken Stahlabschirmung, die von dem gemischten Teilchenstrahl aus Pionen, Myonen und Neutrinos alle Teilchen außer den Neutrinos aufhielt, konnten sie dann einen reinen Neutrinostrahl gewinnen.[8] Sie erhielten dafür den Physiknobelpreis des Jahres 1988. Mit dem Myon-Neutrino wurde eine zweite Neutrinogeneration bekannt, die das Analogon zum Elektron-Neutrino für Myonen darstellt. Kurzzeitig war für das Myon-Neutrino die Bezeichnung Neutretto in Verwendung (-etto ist ebenfalls eine italienische Verkleinerungsform), die jedoch keine große Verbreitung fand. Als 1975 das Tauon entdeckt wurde, erwarteten die Physiker auch eine zugehörige Neutrinogeneration, das Tauon-Neutrino. Erste Anzeichen für dessen Existenz gab das kontinuierliche Spektrum im Tauon-Zerfall, ähnlich wie beim Betazerfall. Im Jahr 2000 wurde dann am DONUT-Experiment das Tau-Neutrino erstmals direkt nachgewiesen.
Das von 1993 bis 1998 laufende LSND-Experiment in Los Alamos wurde als Hinweis auf die Existenz steriler Neutrinos interpretiert, war jedoch umstritten. Nachdem das KArlsruhe-Rutherford-Mittel-Energie-Neutrino-(KARMEN)-Experiment unter der Federführung des Forschungszentrums Karlsruhe am britischen Rutherford Labor die Ergebnisse nicht reproduzieren konnte, gilt diese Interpretation seit 2007 durch erste Ergebnisse von MiniBooNE (miniature booster neutrino experiment am Fermi National Accelerator Laboratory) als offen.[9]
In der Neutrinoforschung des 21. Jahrhunderts wurden bisher vier Wissenschaftler mit dem Nobelpreis für Physik (2002 und 2015) und fünf Wissenschaftler-Teams mit dem Breakthrough Prize in Fundamental Physics 2016 ausgezeichnet.
Eigenschaften
Drei Generationen von Neutrinos und Antineutrinos
Es sind drei Generationen von Leptonen bekannt. Jede davon besteht aus einem elektrisch geladenen Teilchen – Elektron, Myon oder Tauon – und jeweils einem elektrisch neutralen Neutrino, Elektron-Neutrino ( ν e {\displaystyle \nu _{e}} \nu _{e}), Myon-Neutrino ( ν μ {\displaystyle \nu _{\mu }} \nu _{\mu }) bzw. Tau- oder Tauon-Neutrino ( ν τ {\displaystyle \nu _{\tau }} \nu _{\tau }). Hinzu kommen die entsprechenden sechs Antiteilchen. Alle Leptonen haben einen Spin ½.
Nach neueren Erkenntnissen können sich Neutrinos ineinander umwandeln. Das führt zu einer alternativen Beschreibung als drei verschiedene Zustände ν 1 {\displaystyle \nu _{1}} \nu _{1}, ν 2 {\displaystyle \nu _{2}} \nu _{2} und ν 3 {\displaystyle \nu _{3}} \nu _{3}, die jeweils eine scharf bestimmte (aber noch unbekannte) Masse haben. Die beobachtbaren Elektron-, Myon- und Tau-Neutrinos – benannt nach dem jeweiligen geladenen Lepton, mit dem zusammen sie auftreten – sind quantenmechanische Überlagerungen dieser drei Masseneigenzustände.
Die Anzahl der Neutrinoarten mit einer Masse, die kleiner als die halbe Masse des Z-Bosons ist, wurde in Präzisionsexperimenten u. a. am L3-Detektor am CERN zu genau drei bestimmt.
Es gibt derzeit keine Hinweise auf einen neutrinolosen doppelten Betazerfall. Frühere Arbeiten, die dies nahegelegt hatten, wurden durch genauere Messungen widerlegt.[10] Ein neutrinoloser doppelter Betazerfall würde bedeuten, dass entweder die Erhaltung der Leptonenzahl verletzt oder das Neutrino sein eigenes Antiteilchen wäre. In der quantenfeldtheoretischen Beschreibung hieße dies (im Widerspruch zum jetzigen Standardmodell), dass das Neutrinofeld kein Dirac-Spinor, sondern ein Majorana-Spinor wäre.
Die Physiker Lee und Yang gaben den Anstoß für ein Experiment zur Untersuchung der Spins von Neutrinos und Antineutrinos. Dieses wurde 1956 von Chien-Shiung Wu ausgeführt und brachte das Ergebnis, dass die Paritätserhaltung nicht ausnahmslos gilt:
Das Neutrino erwies sich als „Linkshänder“, sein Spin ist seiner Bewegungsrichtung entgegengesetzt (antiparallel; siehe Händigkeit). Damit wird eine objektive Erklärung von links und rechts möglich. Im Bereich der schwachen Wechselwirkung muss demnach beim Übergang von einem Teilchen zu seinem Antiteilchen nicht nur die elektrische Ladung, sondern auch die Parität, also der Spin, vertauscht werden. Die schwache Wechselwirkung unterscheidet sich also von der elektromagnetischen Wechselwirkung durch die Verknüpfung des schwachen Isospins mit der Rechts- oder Links-Händigkeit eines Teilchens:
bei den Leptonen und Quarks haben nur die linkshändigen Teilchen und ihre rechtshändigen Antiteilchen einen von Null verschiedenen schwachen Isospin.
Dagegen sind die rechtshändigen Teilchen und ihre linkshändigen Antiteilchen gegenüber schwachen Wechselwirkungen mit W-Bosonen inert; dieses Phänomen bezeichnet man als maximale Paritätsverletzung.
Dadurch wird auch verständlich, dass Neutrinos ihre eigenen Antiteilchen sein könnten, obwohl sich Neutrinos und Antineutrinos im Experiment verschieden verhalten: Die aus dem Experiment als Antineutrinos bekannten Teilchen wären einfach Neutrinos, deren Spin parallel zur Bewegungsrichtung ist. Man kann die Bewegungsrichtung der Neutrinos experimentell nicht einfach umdrehen; auch kann man derzeit keine Experimente durchführen, bei denen ein Neutrino von einem schnelleren Teilchen eingeholt wird und mit diesem wechselwirkt, sodass die Bewegungsrichtung im Bezugssystem des Wechselwirkungsschwerpunkts der Bewegungsrichtung im Bezugssystem des Labors entgegengesetzt ist.
Neutrinomasse
Transport des Vakuumtanks für das KATRIN-Experiment zur Bestimmung der Neutrinomasse (Nov. 2006)
Im Standardmodell der Teilchenphysik haben Neutrinos keine Masse. Es gibt Erweiterungen des Standardmodells und auch einige Große Vereinheitlichte Theorien, die eine von null verschiedene Masse vorhersagen.
Methoden zur Bestimmung der Neutrinomasse zerfallen in vier Gruppen:
direkte Bestimmung der Masse aus der fehlenden Energie beim Betazerfall
die Beobachtung von Neutrinooszillationen, also Umwandlungen einer Neutrinoart in eine andere
die Suche nach neutrinolosen doppelten Betazerfällen
indirekte Folgerungen aus anderen Beobachtungen, insbesondere aus der beobachtenden Kosmologie
Alle publizierten Ergebnisse werden von der Particle Data Group bewertet und fließen in die jährlich veröffentlichten Review of Particle Physics ein.
Direkte Messungen des Endpunktes des Betaspektrums von Tritium konnten bis 2006 die mögliche Masse der Elektron-Neutrinos mit 2 eV/c² nach oben einschränken.[11] Eine bessere Obergrenze erhofft man sich durch noch genauere Messungen des KATRIN-Experiments am Karlsruher Institut für Technologie, das eine Obergrenze von 0,2 eV/c² erreichen soll. Die bisherigen Messungen konnten nicht ausschließen, dass das leichteste Neutrino masselos ist, und ohne eine Verbesserung der Messgenauigkeit um mehrere Größenordnungen wird dies auch nicht erwartet.
Die Beobachtung von Neutrino-Oszillationen ist eine indirekte Messung von Massendifferenzen zwischen verschiedenen Neutrinos. Sie belegen, dass Neutrinos tatsächlich eine (im Vergleich zu den assoziierten geladenen Leptonen) sehr kleine, von null verschiedene Masse besitzen. Die so erhaltenen sehr kleinen Massendifferenzen bedeuten auch, dass die obige Massengrenze für Elektron-Neutrinos zugleich die Grenze für alle Arten von Neutrinos ist.
Der hypothetische neutrinolose doppelte Betazerfall ist nur dann möglich, wenn die Neutrinos ihre eigenen Antiteilchen sind. Dann kann es beim gleichzeitigen Beta-Zerfall von 2 Neutronen in einem Atomkern manchmal zur Annihilation von 2 virtuellen Neutrinos anstatt zur Aussendung von 2 (realen) Neutrinos kommen. Da die Neutrinos selbst kaum messbar sind, misst man die Gesamtenergie der 2 bei dem Prozess entstehenden Elektronen: Kommen neutrinolose Zerfälle vor, so hat das Elektronen-Gesamtenergie-Spektrum ein lokales Maximum nahe der Zerfallsenergie, weil fast die gesamte Zerfallsenergie nun durch die Elektronen abgeführt wird (ein kleiner Rest geht in kinetische Energie des Atomkerns über).
Der kosmologische Zugang zur Bestimmung der Neutrinomassen basiert auf der Beobachtung der Anisotropie der kosmischen Hintergrundstrahlung durch WMAP und anderen Beobachtungen, die die Parameter des Lambda-CDM-Modells, des heutigen Standardmodells der Kosmologie, bestimmen. Durch den Einfluss, den Neutrinos auf die Strukturbildung im Universum und auf die primordiale Nukleosynthese haben, kann (Stand 2007) als Obergrenze für die Summe der drei Neutrinomassen 0,2 eV/c² angenommen werden.[12][13]
Für die Entdeckung der Neutrinooszillationen erhielten Takaaki Kajita und Arthur B. McDonald 2015 den Nobelpreis für Physik.
Geschwindigkeit
Aufgrund ihrer geringen Masse wird erwartet, dass in teilchenphysikalischen Prozessen erzeugte Neutrinos sich mit nahezu Vakuumlichtgeschwindigkeit bewegen. In mehreren Experimenten wurde die Geschwindigkeit von Neutrinos gemessen und eine Übereinstimmung innerhalb der Messgenauigkeit mit der Lichtgeschwindigkeit beobachtet.
Die Messung der Neutrinomasse, Neutrinogeschwindigkeit und Neutrinooszillationen stellen darüber hinaus Möglichkeiten dar, um die Gültigkeit der Lorentzinvarianz der speziellen Relativitätstheorie zu überprüfen. Messergebnisse des OPERA-Experimentes im Jahr 2011, nach denen sich Neutrinos mit Überlichtgeschwindigkeit bewegt haben sollten, konnten auf Messfehler zurückgeführt werden. Eine neue Messung durch ICARUS und auch eine neue Analyse der OPERA-Daten haben Übereinstimmungen mit der Lichtgeschwindigkeit ergeben.
Durchdringungsfähigkeit
Die Durchdringungsfähigkeit hängt von der Energie der Neutrinos ab. Mit zunehmender Energie nimmt der Wirkungsquerschnitt der Neutrinos zu und die mittlere freie Weglänge entsprechend ab.
Beispiel:
Die mittlere freie Weglänge von Neutrinos mit einer Energie von 103 TeV bei Wechselwirkung mit der Erde liegt im Bereich des Erddurchmessers. Das bedeutet, dass beim Flug quer durch die Erde knapp zwei Drittel dieser Neutrinos wechselwirken, während reichlich ein Drittel durch die Erde durchfliegt.[14] Bei 11 MeV ist die mittlere freie Weglänge in Blei bereits 350 Milliarden Kilometer, und in der Erde würden im Schnitt etwa drei von einer Milliarde Neutrinos eine Wechselwirkung eingehen, während die restlichen ungehindert durchfliegen.
Zum Vergleich:
Der größte Teilchenbeschleuniger der Welt, der Large Hadron Collider, erzeugt Teilchen mit einer Energie von 6,5 TeV pro Nukleon, die Sonne produziert hauptsächlich Neutrinos mit Energien unterhalb von 10 MeV.
Eine Übersicht über den Wirkungsquerschnitt von Neutrinos bei verschiedenen Reaktionen und Energien, veröffentlicht 2013, ist im Internet verfügbar.[15]
Zerfälle und Reaktionen
Feynmandiagramm für den Zerfall eines Neutrons n in Proton p, Elektron e− und Elektron-Antineutrino ν ¯ e {\displaystyle {\overline {\nu }}_{e}} {\overline {\nu }}_{e}, vermittelt über ein W-Boson W−. Diese Reaktion ist ein Beispiel für den geladenen Strom.
Prozesse mit Neutrinos laufen über die schwache Wechselwirkung ab. Neutrinos unterliegen auch der Gravitation; diese ist aber so schwach, dass sie praktisch keinerlei Bedeutung hat. Neutrinoprozesse lassen sich wie jede schwache Wechselwirkung in zwei Kategorien einteilen:
Geladener Strom
Ein Elementarteilchen koppelt über ein elektrisch geladenes W-Boson an ein Neutrino. Hierbei wandeln sich die beteiligten Teilchen in andere um. Das Austauschboson ist je nach Reaktion positiv oder negativ geladen, die Ladung bleibt also erhalten. Auch eine elastische Streuung kann so verlaufen. Weil dabei die Teilchen zu Beginn und Ende gleich sind, lässt sie sich in der Regel jedoch einfach wie eine klassische Streuung beschreiben.
Neutraler Strom
Ein Elementarteilchen koppelt über ein elektrisch neutrales Z-Boson an ein Neutrino. Hierbei bleiben die beteiligten Teilchenflavours erhalten, und die Reaktion ist wie ein elastischer Stoß, der mit beliebigen Leptonen oder Quarks stattfinden kann. Sofern der Energieübertrag groß genug ist, können an getroffenen Atomkernen anschließend Teilchenumwandlungen stattfinden.
Zerfälle
Die ersten bekannten Prozesse, an denen Neutrinos teilnehmen, waren die radioaktiven Betazerfälle. Beim β−- (Beta-minus)-Zerfall wandelt sich ein Neutron in ein Proton um und ein Elektron und ein Elektron-Antineutrino werden ausgesandt. Dabei emittiert eines der beiden Down-Quarks des Neutrons das intermediäre Vektorboson W− und verwandelt sich dadurch in ein Up-Quark. Das W−-Boson zerfällt danach in ein Elektron und ein Elektron-Antineutrino. Es handelt sich also um den „geladenen Strom“. Dieser Zerfall tritt beispielsweise bei freien Neutronen auf, aber auch bei Atomkernen mit großem Neutronenüberschuss.
Bei der Proton/Proton-Reaktion im Inneren der Sonne werden Elektron-Neutrinos erzeugt.
Z A X → Z + 1 A Y + + e − + ν ¯ e {\displaystyle {}_{Z}^{A}\mathrm {X} \to {}_{Z+1}^{A}\mathrm {Y} ^{+}+e^{-}+{\overline {\nu }}_{e}} {}_{Z}^{A}\mathrm {X} \to {}_{Z+1}^{A}\mathrm {Y} ^{+}+e^{-}+{\overline {\nu }}_{e}
Ein Nuklid geht unter Aussendung eines Elektrons und eines Elektron-Antineutrinos
in den Tochterkern mit einer um 1 höheren Ordnungszahl über.
Umgekehrt wandelt sich beim β+- (Beta-plus)-Zerfall ein Proton in ein Neutron um, und beim Zerfall des entstandenen W+-Bosons werden ein Positron und ein Elektron-Neutrino emittiert. Der Prozess tritt bei Protonenüberschuss im Kern auf. Da die Reaktionsprodukte schwerer sind als das ursprüngliche Proton, muss die Massendifferenz aus der Bindungsenergie des Kerns aufgebracht werden.
Z A X → Z − 1 A Y − + e + + ν e {\displaystyle {}_{Z}^{A}\mathrm {X} \to {}_{Z-1}^{A}\mathrm {Y} ^{-}+e^{+}+{\nu }_{e}} {}_{Z}^{A}\mathrm {X} \to {}_{Z-1}^{A}\mathrm {Y} ^{-}+e^{+}+{\nu }_{e}
Ein Nuklid geht unter Aussendung eines Positrons und eines Elektron-Neutrinos
in einen Tochterkern mit um 1 erniedrigter Ordnungszahl über.
Reaktionen
Wichtige Neutrinoquellen sind auch kosmische Kernfusionsprozesse, zum Beispiel in der Sonne. Ein Beispiel ist die Proton-Proton-Reaktion, die besonders bei kleinen Sternen von Bedeutung ist. Dabei verschmelzen zwei Wasserstoffkerne unter extrem hoher Temperatur zu einem Deuteriumkern; infolge der Umwandlung eines Protons in ein Neutron werden ein Positron und ein Elektron-Neutrino frei.
1 H + + 1 H + → 2 H + + e + + ν e {\displaystyle {}^{1}\mathrm {H} ^{+}+{}^{1}\mathrm {H} ^{+}\to {}^{2}\mathrm {H} ^{+}+e^{+}+{\nu }_{e}} {\displaystyle {}^{1}\mathrm {H} ^{+}+{}^{1}\mathrm {H} ^{+}\to {}^{2}\mathrm {H} ^{+}+e^{+}+{\nu }_{e}}
Diese Reaktion ist teilchenphysikalisch äquivalent mit dem β+-Zerfall. Sie ist aber für die Neutrinoforschung weitaus wichtiger, weil in der Sonne sehr viele Neutrinos erzeugt werden. Auch bei einem weiteren Fusionsprozess, dem Bethe-Weizsäcker-Zyklus, in der Sonne und schwereren Sternen entstehen Elektron-Neutrinos. Die Beobachtung der sogenannten Sonnenneutrinos ist wichtig, um deren Eigenschaften, Einzelheiten der Prozesse in der Sonne und die fundamentalen Wechselwirkungen der Physik zu verstehen.
Reaktionen mit einem Neutrino als auslösendem Stoßpartner sind als „umgekehrter Betazerfall“ wichtig zur Detektion von Neutrinos, wie beispielsweise im historischen Cowan-Reines-Neutrinoexperiment:
ν ¯ e + p → n + e + {\displaystyle \mathrm {\bar {\nu }} _{e}+\mathrm {p} \rightarrow \mathrm {n} +\mathrm {e} ^{+}} \mathrm{\bar{\nu}}_e + \mathrm{p} \rightarrow \mathrm{n} + \mathrm{e}^+.
Neutrinoforschung
Obwohl die geringe Reaktionsfreudigkeit der Neutrinos deren Nachweis schwierig macht, kann man das Durchdringungsvermögen der Neutrinos in der Forschung auch ausnutzen: Neutrinos aus kosmischen Ereignissen erreichen die Erde, während elektromagnetische Strahlung oder andere Teilchen in interstellarer Materie abgeschirmt werden.
Astrophysik
Zuerst wurden Neutrinos genutzt, um das Innere der Sonne zu erforschen. Die direkte optische Beobachtung des Kerns ist aufgrund der Diffusion elektromagnetischer Strahlung in den umgebenden Plasmaschichten nicht möglich. Die Neutrinos jedoch, die bei den Fusionsreaktionen im Sonneninneren in großer Zahl entstehen, wechselwirken nur schwach und können das Plasma praktisch ungehindert durchdringen. Ein Photon benötigt typischerweise einige 1000 Jahre, bis es an die Sonnenoberfläche diffundiert; ein Neutrino benötigt dafür nur einige Sekunden.
Später nutzte man Neutrinos auch zur Beobachtung von kosmischen Objekten und Ereignissen jenseits unseres Sonnensystems. Sie sind die einzigen bekannten Teilchen, die von interstellarer Materie nicht deutlich beeinflusst werden. Elektromagnetische Signale können von Staub- und Gaswolken abgeschirmt werden oder aber bei der Detektion auf der Erde von kosmischer Strahlung überdeckt werden. Die kosmische Strahlung ihrerseits, in Form von superschnellen Protonen und Atomkernen, kann sich aufgrund des GZK-Cutoff (Wechselwirkung mit Hintergrundstrahlung) nicht weiter als 100 Megaparsec ausbreiten. Auch das Zentrum unserer Galaxie ist wegen dichten Gases und zahlloser heller Sterne von direkter Beobachtung ausgeschlossen. Es ist jedoch wahrscheinlich, dass Neutrinos aus dem galaktischen Zentrum in naher Zukunft auf der Erde gemessen werden können.
Ebenfalls eine wichtige Rolle spielen Neutrinos bei der Beobachtung von Supernovae, die etwa 99 % ihrer Energie in einem Neutrinoblitz freisetzen. Die entstandenen Neutrinos lassen sich auf der Erde nachweisen und geben Informationen über die Vorgänge während der Supernova. Im Jahr 1987 wurden Neutrinos von der Supernova 1987A aus der Großen Magellanschen Wolke nachgewiesen: elf im Kamiokande,[16] acht im Irvine Michigan Brookhaven Experiment,[17] fünf im Mont Blanc Underground Neutrino Observatory[18] und möglicherweise fünf im Baksan-Detektor.[19][20] Dies waren die ersten nachgewiesenen Neutrinos, die sicher aus einer Supernova stammten, denn diese wurde wenige Stunden später mit Teleskopen beobachtet.
Experimente wie IceCube, Amanda, Antares und Nestor haben den Nachweis kosmogener Neutrinos zum Ziel. IceCube ist das derzeitig (2018) größte Neutrinoobservatorium.
Neutrinodetektoren
Das bereits im vorhergehenden Abschnitt Astrophysik genannte Experiment IceCube ist ein Hochenergie-Neutrino-Observatorium mit etwa 260 Mitarbeitern. Es wurde 2010 im Eis des Südpols fertiggestellt und hat ein Volumen von 1 km³. Die Reaktion der Hochenergie-Neutrinos mit den Elementarteilchen des Eises wird mit diesem Detektor beobachtet und ausgewertet.
Bekannte Neutrinodetektoren sind weiterhin bzw. einerseits die radiochemischen Detektoren (z. B. das Chlorexperiment in der Homestake-Goldmine, USA oder der GALLEX-Detektor im Gran-Sasso-Tunnel in Italien), andererseits die auf dem Tscherenkow-Effekt basierenden Detektoren, hier vor allem das Sudbury Neutrino Observatory (SNO) und Super-Kamiokande. Sie weisen solare und atmosphärische Neutrinos nach und erlauben u. a. die Messung von Neutrinooszillationen und damit Rückschlüsse auf die Differenzen der Neutrinomassen, da die im Sonneninneren ablaufenden Reaktionen und somit die Neutrinoemission der Sonne gut bekannt sind. Experimente wie das Double-Chooz-Experiment oder der seit 2002 arbeitende KamLAND-Detektor[21] im Kamioka Neutrino Observatory sind in der Lage, über den inversen Betazerfall Geoneutrinos und Reaktorneutrinos nachzuweisen, und liefern komplementäre Information aus einem Bereich, der von solaren Neutrinodetektoren nicht abgedeckt wird.
Einer der derzeit größten Neutrino-Detektoren namens MINOS steht unterirdisch in einer Eisenmine in den USA, 750 Kilometer vom Forschungszentrum Fermilab entfernt. Von diesem Forschungszentrum wird ein Neutrinostrahl in Richtung des Detektors ausgestrahlt, wo dann gezählt wird, wie viele der Neutrinos sich während des unterirdischen Fluges umwandeln.
Das CNGS-Experiment (CERN Neutrinos to Gran Sasso) untersucht seit 2007 die Physik der Neutrinos. Dazu wird ein Neutrinostrahl vom CERN über eine Entfernung von 732 km durch die Erdkruste zum Gran-Sasso-Laboratorium in Italien geschickt und dort detektiert. Einige der Myon-Neutrinos wandeln sich unterwegs in andere Neutrinoarten (fast ausschließlich Tau-Neutrinos) um, die vom OPERA-Detektor (Oscillation Project with Emulsion-tRacking Apparatus) nachgewiesen werden. Für die damit zusammenhängenden Geschwindigkeitsmessungen siehe den Abschnitt Geschwindigkeit.
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