Börsen Trading Sportwetten Selzer-McKenzie: Neuronale Netze Berechnungen Author D. Selzer-McKenzie Youtube: https://youtu.be/XbTvf80IMos Für Matrizen gibt es in der linearen Algebra eine ganze Menge an interessanten Funktionen. Sicherlich eine der wichtigsten ist die Bestimmung der sogenannten Determinanten. Eine Determinante ist eine Funktion, die auf eine quadratische Matrix angewendet werden kann, und nur auf eine quadratische Matrix. Man kann damit feststellen, ob ein lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist. Man kann sogar die Lösung mithilfe der sogenannten Cramerschen Regel explizit angeben. Ein Gleichungssystem das über eine Matrix repräsentiert wird, das macht die sogenannte Koeffizientenmatrix. Ein solches Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die Determinante nicht null ist. Und dann ist eine Matrix auch invertierbar. Es gibt also wichtige Gründe, sich mit Determinanten von quadratischen Matrizen zu beschäftigen. Nun kann man die Determinante einer quadratischen Matrix sehr einfach berechnen, wenn man geeignete Programme einsetzt. Beispielsweise sehen Sie hier: Es gibt diese Funktion "det", Determinante. Man schreibt eine quadratische Matrix rein und der Wert wird berechnet, es kommt -2 raus. Aber wie ergibt sich dieser Wert? Nun, bei einer Zwei-Kreuz-Zwei Matrix ist das ganz einfach. Sie müssen den Wert hier oben mal den Wert hier unten nehmen und ziehen den Wert 5 mal 6, also hier das Kreuz, sozusagen wieder ab. Und was rauskommt, ist die Determinante. Es ist nicht mehr ganz so einfach, wenn Sie keine Zwei-Kreuz-Zwei Matrix vorliegen haben. Ganz und gar nicht. Wir schauen uns das mal an. Ich nehme mal eine Drei-Kreuz-Drei Matrix, auch die muss natürlich quadratisch sein und wir geben ein paar Werte ein, und berechnen die Determinante. Der Wert ist null. Das heißt, diese Determinante ist offensichtlich als Koeffizienten Matrix, von einem Gleichungssystem betrachtet. dann eben nicht eindeutig lösbar. Genauer genommen ist das Gleichungssystem, das davon repräsentiert wird, nicht eindeutig lösbar und diese Matrix ist auch nicht invertierbar. Aber wie berechnet man diese Determinante? Wir können ja nicht einfach sagen: Wir multiplizieren hier diese Diagonale und diese Diagonale und ziehen sie voneinander ab, da bleiben ja noch die 2, 4, 6 und 8 übrig, die wir so nicht erwischen. Es gibt verschiedene Techniken, wie man das machen kann. Und die in der Regel einfachste und die auch in der Schule in der Regel gelehrte Technik, ist, dass man versucht diesen Ausdruck auf Zwei-Kreuz-Zwei Matrixen zu reduzieren. Das heißt, man nimmt hier diese 1, also diese Position hier und berechnet dann die Determinante von 5, 6, 8 und 9, also die hier übrig bleibende Zwei-Kreuz-Zwei Determinante aus. Dann nimmt man die 2, dann nimmt man die 3 und rechnet jeweils gestrichen die Spalte, die hier unterhalb steht und verknüpft dann die Resultate. Dieses Verfahren nennt man den Laplaceschen Entwicklungssatz. Dabei entwickelt man eine Determinante einer n-Kreuz-n Matrix nach einer Zeile oder auch nach einer Spalte. Und Sie sehen, hier dieses Programm hat auch genau diesen Laplaceschen Lösungsansatz, den Entwicklungssatz verwendet. Ich nehme also erst die 5 mal 9 -6 mal 8, dann zieh ich davon 4 mal 9 -6 mal 7 ab, multipliziere hier oben den Wert 2 und dann addiere ich 3, also hier oben den Wert 4 mal 8 -5 mal 7. Ich entwickle die Determinante also nach der ersten Zeile. Wohl bemerkt, das ist nur eine Möglichkeit die Determinante zu berechnen, aber eine sehr effektive und einfache Methode. Sie haben also in diesem Video gesehen, was eine Determinante ist, wofür sie da ist, was Sie daraus für Aussagen schließen können, und wie man Determinanten grundsätzlich entwickelt, insbesondere nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz. ……………. Der Logarithmus einer Zahl ist ein Exponent, und zwar derjenige, mit dem eine Basis potenziert werden muss, um eine gegebene Zahl zu erhalten. Logarithmen sind nur für positive reele Zahlen definiert und auch die Basis selbst muss positiv sein. Der Logarithmus einer Zahl "x" zu einer Basis "b" ist also der Wert des Exponenten, wenn "x" als Potenz zu Basis "b" dargestellt wird. Es ist also diejenige Zahl "y", die diese Gleichung löst. "b hoch y ist gleich x" Wenn man nun "y" bestimmt, schreibt man das über die Abkürzung "log", für Logarithmus und notiert die Basis hier tief gestellt. Sie finden Möglichkeiten zum Berechnen des Logarithmus auch mit solcher Notation auf dem Taschenrechner bzw. in entsprechenden mathematischen Programmen. Logarithmieren ist also eine Umkehroperation des Potenzieren. Nun ist diese Basis "b" frei wählbar, aber es gibt einige besondere Logarithmen, die anderen gegenüber ausgezeichnet sind. Natürlich zur Basis zehn - weil wir mit unserem Dezimalsystem natürlich arbeiten. Aber auch zur Basis zwei, wenn wir das Dualsystem betrachten. Und besonders wichtig ist der sogenannte natürliche Logarithmus. Das ist die Basis "e" , die hier eine Rolle spielt, die sogenannte Euler'sche Zahl: 2,71828 und so weiter. Diese taucht in vielen Prozessen der Natur oder der Technik auf. Mit Logarithmen lassen sich sehr stark anwachsende Zahlenreihen sehr übersichtlich gestalten. Denn der Logarithmus für große Zahlen wächst viel langsamer als die Zahl selbst. Das sagt ja genau logarithmisch wachsen. Viele Rechenoperationen lassen sich durch Bildung des Logarithmus erheblich vereinfachen. In Taschenrechnern, Taschenrechner-Apps oder einem mathematischen Programm wie Microsoft Mathematics, finden Sie Unterstützung für den Logarithmus. Beispielsweise hier Log, das ist die Möglichkeit zur Basis zehn den Logarithmus zu bilden oder Ln für den natürlichen Logarithmus. Wir können ja mal, hier, den Logarithmus von einer Zahl bilden. D.h. man wird ganz einfach hier, Log(Wert) bilden und dann mit Eingabe ist der Wert berechnet. Warum habe ich die Zahl 100 gewählt? Wir haben die Basis zehn und zehn hoch was gibt 100, naja zwei! Das ist eben besagter Logarithmus. Wir haben in diesem Video nur einen kurzen Einblick in den Umgang mit Logarithmus bekommen, und für die Rechenoperationen, die man mit dem Logarithmus ausführen kann, verweise ich auf weitergehende Literatur. Aber grundsätzlich, sollte man als Programmierer zumindest wissen was der Logarithmus ist, und auch den natürlichen Logarithmus und die Euler'sche Zahl kennen. …………………. Das Konzept der Matrizen -- oder Singular, einer Matrix -- steht im Fokus von diesem Video. Eine Matrix ist erst einmal nur eine rechteckige Anordnung von Elementen, meist Zahlen. Man kann sich das durchaus als Tabelle vorstellen. Mit den Objekten in dieser Tabelle, in dieser rechteckigen Anordnung, lässt sich auf eine bestimmte Art und Weise rechnen. Es gibt verschiedene Regeln, Konzepte, was man mit Matrizen machen kann. Man kann sie addieren, miteinander multiplizieren, man kann mit einem Skalar multiplizieren und ähnliche Dinge. Wir werden ein paar wesentliche Konzepte hier in diesem Video kennenlernen. Matrizen können eine beliebige Dimensionalität besitzen. Sehr oft sind sie zweidimensional, aber das ist durchaus erweiterbar, und sie stellen ein Schlüsselkonzept der sog. linearen Algebra dar. Sie werden aber auch in anderen mathematischen Konzepten benutzt. Matrizen werden insbesondere dazu benutzt, lineare Abbildungen darzustellen und lineare Gleichungssysteme zu beschreiben und zu lösen. Ich habe hier ein Programm, womit wir eine Matrix sehr einfach eingeben können. Und diese Darstellung mit diesen runden Klammern ist üblich. Nun können wir mit dieser Matrix beispielsweise rechnen. Wir können sie mit einer anderen Matrix addieren, d.h. wir würden hier ein Pluszeichen machen und eine weitere Matrix einfügen. Die sollte, damit es einfach ist, die gleiche Dimension haben. Einmal die 7, 8, 9, und die 10. Und hier sehen Sie, was rauskommt. Es ist relativ offensichtlich, dass die Addition von Matrizen sehr einfach ist. Sie machen nichts weiter als die jeweiligen Positionen immer miteinander zu addieren. Also, 3 plus 7, das ist die erste Position links oben mit der ersten Position links oben. 4 plus 8 sind 12, 5 plus 9 sind 14 und 6 plus 10 gibt 16. Das Programm ist auch sehr nützlich, um die einzelnen Lösungsschritte zu sehen. Sie sehen also bei der Addition werden, wie beschrieben, die einzelnen Positionen dieser beiden verknüpften Matrizen addiert. Die Multiplikation einer Matrix ist auch sehr einfach, insbesondere wenn sie mit einem Skalar multipliziert werden soll. Wir nehmen wieder eine Matrix, multiplizieren beispielsweise mit dem Wert 5. Und Sie sehen, dass jeder einzelne Wert in der Matrix mit der Zahl 5 multipliziert wurde. Sie können auch Matrizen miteinander multiplizieren, allerdings muss dann die Spaltenanzahl der linken Matrix mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmen. Das ist selbstverständlich dann gegeben, wenn sie rechteckig und gleich groß sind. Fangen wir mal damit an. Wie ergeben sich nun diese Zahlen? Nun, Sie müssen die erste Zeile dieser Matrix mit der ersten Spalte der verknüpften Matrix verbinden. Und zwar so, dass Sie rechnen: 3 mal 2 plus 4 mal 6. Und damit haben Sie den ersten Zielwert. Dann nehmen Sie 3 mal 4 plus 4 mal 8 und haben den zweiten Zielwert. Das ist diese Position. Dann nehmen Sie 5 mal 2 plus 6 mal 6. Dann haben Sie diese Position. 5 mal 4 plus 6 mal 8, haben Sie diese Position. Sie merken also, warum die Spaltenanzahl der linken mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmen muss. Schauen wir uns das nochmal für einen Fall an, wo wir keine identisch großen Matrizen haben. Ich nehme eine Matrix, zwei Zeilen, drei Spalten, und multipliziere diese mit einer Matrix mit drei Zeilen und zwei Spalten. Und das funktioniert. Denn wir haben die Möglichkeit, jede Spalte in der linken Matrix mit einer genauso großen Anzahl an Zeilen in der rechten Matrix zu verknüpfen. Nun gibt es noch eine ganze Reihe an weiteren Konzepten bei Matrizen, die nicht ganz uninteressant sind, die ich aber nur andeuten möchte. Wenn ich beispielsweise eine Matrix habe, die ich transponieren möchte, dann drehe ich die Position an einer gedachten Mittellinie um, in einer Diagonalen. D.h. wenn wir ganz normal die Zahlen 1 bis 9 haben, und transponiere diese Matrix -- genau genommen, muss ich das als Funktion davor schreiben -- dann sehen Sie, dass die Zahl 7, die ursprünglich links unten jetzt rechts oben steht, die Zahl 2, die ursprünglich in der Mitte oben jetzt auf der linken Seite in der Mitte steht. An dieser Linie von 1 bis 9 wurden die Werte quasi gespiegelt. Wir wollen es in diesem Video damit gut sein lassen, auch wenn es noch weitere Konzepte gibt, wie das Invertieren von Matrizen und ähnliche Sachen. Sie haben aber in diesem Video jetzt einen Einblick bekommen, was Matrizen sind und wie man sie bei einfachen Operationen verknüpfen kann, auch wie sie beispielsweise mit einem Skalar verbunden werden können. ………………..

Montag, 5. Februar 2018

Neuronale Netze Berechnungen Author D. Selzer-McKenzie Youtube: https://youtu.be/XbTvf80IMos Für Matrizen gibt es in der linearen Algebra eine ganze Menge an interessanten Funktionen. Sicherlich eine der wichtigsten ist die Bestimmung der sogenannten Determinanten. Eine Determinante ist eine Funktion, die auf eine quadratische Matrix angewendet werden kann, und nur auf eine quadratische Matrix. Man kann damit feststellen, ob ein lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist. Man kann sogar die Lösung mithilfe der sogenannten Cramerschen Regel explizit angeben. Ein Gleichungssystem das über eine Matrix repräsentiert wird, das macht die sogenannte Koeffizientenmatrix. Ein solches Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die Determinante nicht null ist. Und dann ist eine Matrix auch invertierbar. Es gibt also wichtige Gründe, sich mit Determinanten von quadratischen Matrizen zu beschäftigen. Nun kann man die Determinante einer quadratischen Matrix sehr einfach berechnen, wenn man geeignete Programme einsetzt. Beispielsweise sehen Sie hier: Es gibt diese Funktion "det", Determinante. Man schreibt eine quadratische Matrix rein und der Wert wird berechnet, es kommt -2 raus. Aber wie ergibt sich dieser Wert? Nun, bei einer Zwei-Kreuz-Zwei Matrix ist das ganz einfach. Sie müssen den Wert hier oben mal den Wert hier unten nehmen und ziehen den Wert 5 mal 6, also hier das Kreuz, sozusagen wieder ab. Und was rauskommt, ist die Determinante. Es ist nicht mehr ganz so einfach, wenn Sie keine Zwei-Kreuz-Zwei Matrix vorliegen haben. Ganz und gar nicht. Wir schauen uns das mal an. Ich nehme mal eine Drei-Kreuz-Drei Matrix, auch die muss natürlich quadratisch sein und wir geben ein paar Werte ein, und berechnen die Determinante. Der Wert ist null. Das heißt, diese Determinante ist offensichtlich als Koeffizienten Matrix, von einem Gleichungssystem betrachtet. dann eben nicht eindeutig lösbar. Genauer genommen ist das Gleichungssystem, das davon repräsentiert wird, nicht eindeutig lösbar und diese Matrix ist auch nicht invertierbar. Aber wie berechnet man diese Determinante? Wir können ja nicht einfach sagen: Wir multiplizieren hier diese Diagonale und diese Diagonale und ziehen sie voneinander ab, da bleiben ja noch die 2, 4, 6 und 8 übrig, die wir so nicht erwischen. Es gibt verschiedene Techniken, wie man das machen kann. Und die in der Regel einfachste und die auch in der Schule in der Regel gelehrte Technik, ist, dass man versucht diesen Ausdruck auf Zwei-Kreuz-Zwei Matrixen zu reduzieren. Das heißt, man nimmt hier diese 1, also diese Position hier und berechnet dann die Determinante von 5, 6, 8 und 9, also die hier übrig bleibende Zwei-Kreuz-Zwei Determinante aus. Dann nimmt man die 2, dann nimmt man die 3 und rechnet jeweils gestrichen die Spalte, die hier unterhalb steht und verknüpft dann die Resultate. Dieses Verfahren nennt man den Laplaceschen Entwicklungssatz. Dabei entwickelt man eine Determinante einer n-Kreuz-n Matrix nach einer Zeile oder auch nach einer Spalte. Und Sie sehen, hier dieses Programm hat auch genau diesen Laplaceschen Lösungsansatz, den Entwicklungssatz verwendet. Ich nehme also erst die 5 mal 9 -6 mal 8, dann zieh ich davon 4 mal 9 -6 mal 7 ab, multipliziere hier oben den Wert 2 und dann addiere ich 3, also hier oben den Wert 4 mal 8 -5 mal 7. Ich entwickle die Determinante also nach der ersten Zeile. Wohl bemerkt, das ist nur eine Möglichkeit die Determinante zu berechnen, aber eine sehr effektive und einfache Methode. Sie haben also in diesem Video gesehen, was eine Determinante ist, wofür sie da ist, was Sie daraus für Aussagen schließen können, und wie man Determinanten grundsätzlich entwickelt, insbesondere nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz. ……………. Der Logarithmus einer Zahl ist ein Exponent, und zwar derjenige, mit dem eine Basis potenziert werden muss, um eine gegebene Zahl zu erhalten. Logarithmen sind nur für positive reele Zahlen definiert und auch die Basis selbst muss positiv sein. Der Logarithmus einer Zahl "x" zu einer Basis "b" ist also der Wert des Exponenten, wenn "x" als Potenz zu Basis "b" dargestellt wird. Es ist also diejenige Zahl "y", die diese Gleichung löst. "b hoch y ist gleich x" Wenn man nun "y" bestimmt, schreibt man das über die Abkürzung "log", für Logarithmus und notiert die Basis hier tief gestellt. Sie finden Möglichkeiten zum Berechnen des Logarithmus auch mit solcher Notation auf dem Taschenrechner bzw. in entsprechenden mathematischen Programmen. Logarithmieren ist also eine Umkehroperation des Potenzieren. Nun ist diese Basis "b" frei wählbar, aber es gibt einige besondere Logarithmen, die anderen gegenüber ausgezeichnet sind. Natürlich zur Basis zehn - weil wir mit unserem Dezimalsystem natürlich arbeiten. Aber auch zur Basis zwei, wenn wir das Dualsystem betrachten. Und besonders wichtig ist der sogenannte natürliche Logarithmus. Das ist die Basis "e" , die hier eine Rolle spielt, die sogenannte Euler'sche Zahl: 2,71828 und so weiter. Diese taucht in vielen Prozessen der Natur oder der Technik auf. Mit Logarithmen lassen sich sehr stark anwachsende Zahlenreihen sehr übersichtlich gestalten. Denn der Logarithmus für große Zahlen wächst viel langsamer als die Zahl selbst. Das sagt ja genau logarithmisch wachsen. Viele Rechenoperationen lassen sich durch Bildung des Logarithmus erheblich vereinfachen. In Taschenrechnern, Taschenrechner-Apps oder einem mathematischen Programm wie Microsoft Mathematics, finden Sie Unterstützung für den Logarithmus. Beispielsweise hier Log, das ist die Möglichkeit zur Basis zehn den Logarithmus zu bilden oder Ln für den natürlichen Logarithmus. Wir können ja mal, hier, den Logarithmus von einer Zahl bilden. D.h. man wird ganz einfach hier, Log(Wert) bilden und dann mit Eingabe ist der Wert berechnet. Warum habe ich die Zahl 100 gewählt? Wir haben die Basis zehn und zehn hoch was gibt 100, naja zwei! Das ist eben besagter Logarithmus. Wir haben in diesem Video nur einen kurzen Einblick in den Umgang mit Logarithmus bekommen, und für die Rechenoperationen, die man mit dem Logarithmus ausführen kann, verweise ich auf weitergehende Literatur. Aber grundsätzlich, sollte man als Programmierer zumindest wissen was der Logarithmus ist, und auch den natürlichen Logarithmus und die Euler'sche Zahl kennen. …………………. Das Konzept der Matrizen -- oder Singular, einer Matrix -- steht im Fokus von diesem Video. Eine Matrix ist erst einmal nur eine rechteckige Anordnung von Elementen, meist Zahlen. Man kann sich das durchaus als Tabelle vorstellen. Mit den Objekten in dieser Tabelle, in dieser rechteckigen Anordnung, lässt sich auf eine bestimmte Art und Weise rechnen. Es gibt verschiedene Regeln, Konzepte, was man mit Matrizen machen kann. Man kann sie addieren, miteinander multiplizieren, man kann mit einem Skalar multiplizieren und ähnliche Dinge. Wir werden ein paar wesentliche Konzepte hier in diesem Video kennenlernen. Matrizen können eine beliebige Dimensionalität besitzen. Sehr oft sind sie zweidimensional, aber das ist durchaus erweiterbar, und sie stellen ein Schlüsselkonzept der sog. linearen Algebra dar. Sie werden aber auch in anderen mathematischen Konzepten benutzt. Matrizen werden insbesondere dazu benutzt, lineare Abbildungen darzustellen und lineare Gleichungssysteme zu beschreiben und zu lösen. Ich habe hier ein Programm, womit wir eine Matrix sehr einfach eingeben können. Und diese Darstellung mit diesen runden Klammern ist üblich. Nun können wir mit dieser Matrix beispielsweise rechnen. Wir können sie mit einer anderen Matrix addieren, d.h. wir würden hier ein Pluszeichen machen und eine weitere Matrix einfügen. Die sollte, damit es einfach ist, die gleiche Dimension haben. Einmal die 7, 8, 9, und die 10. Und hier sehen Sie, was rauskommt. Es ist relativ offensichtlich, dass die Addition von Matrizen sehr einfach ist. Sie machen nichts weiter als die jeweiligen Positionen immer miteinander zu addieren. Also, 3 plus 7, das ist die erste Position links oben mit der ersten Position links oben. 4 plus 8 sind 12, 5 plus 9 sind 14 und 6 plus 10 gibt 16. Das Programm ist auch sehr nützlich, um die einzelnen Lösungsschritte zu sehen. Sie sehen also bei der Addition werden, wie beschrieben, die einzelnen Positionen dieser beiden verknüpften Matrizen addiert. Die Multiplikation einer Matrix ist auch sehr einfach, insbesondere wenn sie mit einem Skalar multipliziert werden soll. Wir nehmen wieder eine Matrix, multiplizieren beispielsweise mit dem Wert 5. Und Sie sehen, dass jeder einzelne Wert in der Matrix mit der Zahl 5 multipliziert wurde. Sie können auch Matrizen miteinander multiplizieren, allerdings muss dann die Spaltenanzahl der linken Matrix mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmen. Das ist selbstverständlich dann gegeben, wenn sie rechteckig und gleich groß sind. Fangen wir mal damit an. Wie ergeben sich nun diese Zahlen? Nun, Sie müssen die erste Zeile dieser Matrix mit der ersten Spalte der verknüpften Matrix verbinden. Und zwar so, dass Sie rechnen: 3 mal 2 plus 4 mal 6. Und damit haben Sie den ersten Zielwert. Dann nehmen Sie 3 mal 4 plus 4 mal 8 und haben den zweiten Zielwert. Das ist diese Position. Dann nehmen Sie 5 mal 2 plus 6 mal 6. Dann haben Sie diese Position. 5 mal 4 plus 6 mal 8, haben Sie diese Position. Sie merken also, warum die Spaltenanzahl der linken mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmen muss. Schauen wir uns das nochmal für einen Fall an, wo wir keine identisch großen Matrizen haben. Ich nehme eine Matrix, zwei Zeilen, drei Spalten, und multipliziere diese mit einer Matrix mit drei Zeilen und zwei Spalten. Und das funktioniert. Denn wir haben die Möglichkeit, jede Spalte in der linken Matrix mit einer genauso großen Anzahl an Zeilen in der rechten Matrix zu verknüpfen. Nun gibt es noch eine ganze Reihe an weiteren Konzepten bei Matrizen, die nicht ganz uninteressant sind, die ich aber nur andeuten möchte. Wenn ich beispielsweise eine Matrix habe, die ich transponieren möchte, dann drehe ich die Position an einer gedachten Mittellinie um, in einer Diagonalen. D.h. wenn wir ganz normal die Zahlen 1 bis 9 haben, und transponiere diese Matrix -- genau genommen, muss ich das als Funktion davor schreiben -- dann sehen Sie, dass die Zahl 7, die ursprünglich links unten jetzt rechts oben steht, die Zahl 2, die ursprünglich in der Mitte oben jetzt auf der linken Seite in der Mitte steht. An dieser Linie von 1 bis 9 wurden die Werte quasi gespiegelt. Wir wollen es in diesem Video damit gut sein lassen, auch wenn es noch weitere Konzepte gibt, wie das Invertieren von Matrizen und ähnliche Sachen. Sie haben aber in diesem Video jetzt einen Einblick bekommen, was Matrizen sind und wie man sie bei einfachen Operationen verknüpfen kann, auch wie sie beispielsweise mit einem Skalar verbunden werden können. ………………..

Neuronale Netze Berechnungen

Author D. Selzer-McKenzie

Youtube: https://youtu.be/XbTvf80IMos

Für Matrizen gibt es in der linearen Algebra eine ganze Menge an interessanten Funktionen. Sicherlich eine der wichtigsten ist die Bestimmung der sogenannten Determinanten. Eine Determinante ist eine Funktion, die auf eine quadratische Matrix angewendet werden kann, und nur auf eine quadratische Matrix. Man kann damit feststellen, ob ein lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist. Man kann sogar die Lösung mithilfe der sogenannten Cramerschen Regel explizit angeben.

Ein Gleichungssystem das über eine Matrix repräsentiert wird, das macht die sogenannte Koeffizientenmatrix. Ein solches Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die Determinante nicht null ist. Und dann ist eine Matrix auch invertierbar. Es gibt also wichtige Gründe, sich mit Determinanten von quadratischen Matrizen zu beschäftigen. Nun kann man die Determinante einer quadratischen Matrix sehr einfach berechnen, wenn man geeignete Programme einsetzt.

Beispielsweise sehen Sie hier: Es gibt diese Funktion "det", Determinante. Man schreibt eine quadratische Matrix rein und der Wert wird berechnet, es kommt -2 raus. Aber wie ergibt sich dieser Wert? Nun, bei einer Zwei-Kreuz-Zwei Matrix ist das ganz einfach. Sie müssen den Wert hier oben mal den Wert hier unten nehmen und ziehen den Wert 5 mal 6, also hier das Kreuz, sozusagen wieder ab.

Und was rauskommt, ist die Determinante. Es ist nicht mehr ganz so einfach, wenn Sie keine Zwei-Kreuz-Zwei Matrix vorliegen haben. Ganz und gar nicht. Wir schauen uns das mal an. Ich nehme mal eine Drei-Kreuz-Drei Matrix, auch die muss natürlich quadratisch sein und wir geben ein paar Werte ein, und berechnen die Determinante.

Der Wert ist null. Das heißt, diese Determinante ist offensichtlich als Koeffizienten Matrix, von einem Gleichungssystem betrachtet. dann eben nicht eindeutig lösbar. Genauer genommen ist das Gleichungssystem, das davon repräsentiert wird, nicht eindeutig lösbar und diese Matrix ist auch nicht invertierbar. Aber wie berechnet man diese Determinante? Wir können ja nicht einfach sagen: Wir multiplizieren hier diese Diagonale und diese Diagonale und ziehen sie voneinander ab, da bleiben ja noch die 2, 4, 6 und 8 übrig, die wir so nicht erwischen.

Es gibt verschiedene Techniken, wie man das machen kann. Und die in der Regel einfachste und die auch in der Schule in der Regel gelehrte Technik, ist, dass man versucht diesen Ausdruck auf Zwei-Kreuz-Zwei Matrixen zu reduzieren. Das heißt, man nimmt hier diese 1, also diese Position hier und berechnet dann die Determinante von 5, 6, 8 und 9, also die hier übrig bleibende Zwei-Kreuz-Zwei Determinante aus. Dann nimmt man die 2, dann nimmt man die 3 und rechnet jeweils gestrichen die Spalte, die hier unterhalb steht und verknüpft dann die Resultate.

Dieses Verfahren nennt man den Laplaceschen Entwicklungssatz. Dabei entwickelt man eine Determinante einer n-Kreuz-n Matrix nach einer Zeile oder auch nach einer Spalte. Und Sie sehen, hier dieses Programm hat auch genau diesen Laplaceschen Lösungsansatz, den Entwicklungssatz verwendet. Ich nehme also erst die 5 mal 9 -6 mal 8, dann zieh ich davon 4 mal 9 -6 mal 7 ab, multipliziere hier oben den Wert 2 und dann addiere ich 3, also hier oben den Wert 4 mal 8 -5 mal 7.

Ich entwickle die Determinante also nach der ersten Zeile. Wohl bemerkt, das ist nur eine Möglichkeit die Determinante zu berechnen, aber eine sehr effektive und einfache Methode. Sie haben also in diesem Video gesehen, was eine Determinante ist, wofür sie da ist, was Sie daraus für Aussagen schließen können, und wie man Determinanten grundsätzlich entwickelt, insbesondere nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz.

…………….

Der Logarithmus einer Zahl ist ein Exponent, und zwar derjenige, mit dem eine Basis potenziert werden muss, um eine gegebene Zahl zu erhalten. Logarithmen sind nur für positive reele Zahlen definiert und auch die Basis selbst muss positiv sein. Der Logarithmus einer Zahl "x" zu einer Basis "b" ist also der Wert des Exponenten, wenn "x" als Potenz zu Basis "b" dargestellt wird.

Es ist also diejenige Zahl "y", die diese Gleichung löst. "b hoch y ist gleich x" Wenn man nun "y" bestimmt, schreibt man das über die Abkürzung "log", für Logarithmus und notiert die Basis hier tief gestellt. Sie finden Möglichkeiten zum Berechnen des Logarithmus auch mit solcher Notation auf dem Taschenrechner bzw. in entsprechenden mathematischen Programmen.

Logarithmieren ist also eine Umkehroperation des Potenzieren. Nun ist diese Basis "b" frei wählbar, aber es gibt einige besondere Logarithmen, die anderen gegenüber ausgezeichnet sind. Natürlich zur Basis zehn - weil wir mit unserem Dezimalsystem natürlich arbeiten. Aber auch zur Basis zwei, wenn wir das Dualsystem betrachten. Und besonders wichtig ist der sogenannte natürliche Logarithmus.

Das ist die Basis "e" , die hier eine Rolle spielt, die sogenannte Euler'sche Zahl: 2,71828 und so weiter. Diese taucht in vielen Prozessen der Natur oder der Technik auf. Mit Logarithmen lassen sich sehr stark anwachsende Zahlenreihen sehr übersichtlich gestalten. Denn der Logarithmus für große Zahlen wächst viel langsamer als die Zahl selbst. Das sagt ja genau logarithmisch wachsen.

Viele Rechenoperationen lassen sich durch Bildung des Logarithmus erheblich vereinfachen. In Taschenrechnern, Taschenrechner-Apps oder einem mathematischen Programm wie Microsoft Mathematics, finden Sie Unterstützung für den Logarithmus. Beispielsweise hier Log, das ist die Möglichkeit zur Basis zehn den Logarithmus zu bilden oder Ln für den natürlichen Logarithmus. Wir können ja mal, hier, den Logarithmus von einer Zahl bilden.

D.h. man wird ganz einfach hier, Log(Wert) bilden und dann mit Eingabe ist der Wert berechnet. Warum habe ich die Zahl 100 gewählt? Wir haben die Basis zehn und zehn hoch was gibt 100, naja zwei! Das ist eben besagter Logarithmus. Wir haben in diesem Video nur einen kurzen Einblick in den Umgang mit Logarithmus bekommen, und für die Rechenoperationen, die man mit dem Logarithmus ausführen kann, verweise ich auf weitergehende Literatur.

Aber grundsätzlich, sollte man als Programmierer zumindest wissen was der Logarithmus ist, und auch den natürlichen Logarithmus und die Euler'sche Zahl kennen.

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Das Konzept der Matrizen -- oder Singular, einer Matrix -- steht im Fokus von diesem Video. Eine Matrix ist erst einmal nur eine rechteckige Anordnung von Elementen, meist Zahlen. Man kann sich das durchaus als Tabelle vorstellen. Mit den Objekten in dieser Tabelle, in dieser rechteckigen Anordnung, lässt sich auf eine bestimmte Art und Weise rechnen. Es gibt verschiedene Regeln, Konzepte, was man mit Matrizen machen kann. Man kann sie addieren, miteinander multiplizieren, man kann mit einem Skalar multiplizieren und ähnliche Dinge.

Wir werden ein paar wesentliche Konzepte hier in diesem Video kennenlernen. Matrizen können eine beliebige Dimensionalität besitzen. Sehr oft sind sie zweidimensional, aber das ist durchaus erweiterbar, und sie stellen ein Schlüsselkonzept der sog. linearen Algebra dar. Sie werden aber auch in anderen mathematischen Konzepten benutzt. Matrizen werden insbesondere dazu benutzt, lineare Abbildungen darzustellen und lineare Gleichungssysteme zu beschreiben und zu lösen.

Ich habe hier ein Programm, womit wir eine Matrix sehr einfach eingeben können. Und diese Darstellung mit diesen runden Klammern ist üblich. Nun können wir mit dieser Matrix beispielsweise rechnen. Wir können sie mit einer anderen Matrix addieren, d.h. wir würden hier ein Pluszeichen machen und eine weitere Matrix einfügen. Die sollte, damit es einfach ist, die gleiche Dimension haben. Einmal die 7, 8, 9, und die 10.

Und hier sehen Sie, was rauskommt. Es ist relativ offensichtlich, dass die Addition von Matrizen sehr einfach ist. Sie machen nichts weiter als die jeweiligen Positionen immer miteinander zu addieren. Also, 3 plus 7, das ist die erste Position links oben mit der ersten Position links oben. 4 plus 8 sind 12, 5 plus 9 sind 14 und 6 plus 10 gibt 16. Das Programm ist auch sehr nützlich, um die einzelnen Lösungsschritte zu sehen.

Sie sehen also bei der Addition werden, wie beschrieben, die einzelnen Positionen dieser beiden verknüpften Matrizen addiert. Die Multiplikation einer Matrix ist auch sehr einfach, insbesondere wenn sie mit einem Skalar multipliziert werden soll. Wir nehmen wieder eine Matrix, multiplizieren beispielsweise mit dem Wert 5.

Und Sie sehen, dass jeder einzelne Wert in der Matrix mit der Zahl 5 multipliziert wurde. Sie können auch Matrizen miteinander multiplizieren, allerdings muss dann die Spaltenanzahl der linken Matrix mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmen. Das ist selbstverständlich dann gegeben, wenn sie rechteckig und gleich groß sind. Fangen wir mal damit an.

Wie ergeben sich nun diese Zahlen? Nun, Sie müssen die erste Zeile dieser Matrix mit der ersten Spalte der verknüpften Matrix verbinden. Und zwar so, dass Sie rechnen: 3 mal 2 plus 4 mal 6. Und damit haben Sie den ersten Zielwert.

Dann nehmen Sie 3 mal 4 plus 4 mal 8 und haben den zweiten Zielwert. Das ist diese Position. Dann nehmen Sie 5 mal 2 plus 6 mal 6. Dann haben Sie diese Position. 5 mal 4 plus 6 mal 8, haben Sie diese Position. Sie merken also, warum die Spaltenanzahl der linken mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmen muss.

Schauen wir uns das nochmal für einen Fall an, wo wir keine identisch großen Matrizen haben. Ich nehme eine Matrix, zwei Zeilen, drei Spalten, und multipliziere diese mit einer Matrix mit drei Zeilen und zwei Spalten.

Und das funktioniert. Denn wir haben die Möglichkeit, jede Spalte in der linken Matrix mit einer genauso großen Anzahl an Zeilen in der rechten Matrix zu verknüpfen. Nun gibt es noch eine ganze Reihe an weiteren Konzepten bei Matrizen, die nicht ganz uninteressant sind, die ich aber nur andeuten möchte. Wenn ich beispielsweise eine Matrix habe, die ich transponieren möchte, dann drehe ich die Position an einer gedachten Mittellinie um, in einer Diagonalen.

D.h. wenn wir ganz normal die Zahlen 1 bis 9 haben, und transponiere diese Matrix -- genau genommen, muss ich das als Funktion davor schreiben -- dann sehen Sie, dass die Zahl 7, die ursprünglich links unten jetzt rechts oben steht, die Zahl 2, die ursprünglich in der Mitte oben jetzt auf der linken Seite in der Mitte steht. An dieser Linie von 1 bis 9 wurden die Werte quasi gespiegelt.

Wir wollen es in diesem Video damit gut sein lassen, auch wenn es noch weitere Konzepte gibt, wie das Invertieren von Matrizen und ähnliche Sachen. Sie haben aber in diesem Video jetzt einen Einblick bekommen, was Matrizen sind und wie man sie bei einfachen Operationen verknüpfen kann, auch wie sie beispielsweise mit einem Skalar verbunden werden können.

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